Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004

A&mne (0) = (e&mne− − e&mne+ ) Kzmn / Ktmn (0),

A&kмl(0) = (e&kмl+ + e&kмl− ) W / Ktkl (0),

B&kмl(0) = (e&kмl+ − e&kмl− ) Kzkl / Ktkl (0),

Безразмерная мощность, переносимая волновым полем через поперечное сечение волновода в выбранных переменных имеет вид

Исходя из представления (8.96) на регулярных участках, а также в точках волновода, где az=bz=qz=hz=0, мощности прямой и обратной волн в выбранных безразмерных переменных выражаются следующим образом:

Эффективность взаимодействия электронного потока с возбуждаемым электромагнитным полем оценивается величиной электронного КПД

или волнового КПД

Расчет эффективности по разным формулам позволяет контролировать погрешность вычислений, т.к. при отсутствии потерь в стенках волновода из-

121

за сохранения баланса энергии должно выполняться условие ηe =ηv , а также на регулярных участках ηv =ηv+ +ηv− .

Ниже приведены примеры моделирования приборов и устройств СВЧ на основе развитой теории.

ЛБВ-О на нерегулярном гофрированном волноводе прямоугольного се-

чения. Схема ЛБВ приведена на Рис.8.3. Формируемый электронной пушкой

Рис. 8.3.

ленточный электронный поток, проходя в зазоре волновода с гофрированны-

Рис.8.4

ми стенками (Рис. 8.4), взаимодействует с усиливаемой Е11-волной и другими связанными с ней волнами, после чего осаждается на коллекторе. Ввод сигнала и вывод СВЧ энергии осуществляется через согласованныеr переходы. В

области взаимодействия создано однородное магнитное полеF = F0 zr0 , обес-

печивающее минимизацию поперечных составляющих скорости пучка. Профиль гофра задавался в виде:

В математической модели ЛБВ-О приняты трехмерныеr уравнения движения крупных частиц (8.89) с начальными условиями βi0 = β0 zr0 , rr0i = 0 . Начальные условия для амплитуд (8.87) задавались исходя из того, что на вход

122

подается сигнал в виде падающей Е11 - волны с амплитудой e11e+re = e0 , ампли-

туды всех остальных распространяющихся волн задавались равными нулю. Тем самым обеспечивается полное согласование на входном конце лампы. Исходя из условия селекции рабочей E11-волны на базовой частоте, были выбраны безразмерные (отнесенные к λ0 2π ) значения Dxo=10, Dyo=2 . Опти-

мизировались: глубина гофра hym(z)=hyp(z)=hy(z), длина гребенки L, количество периодов nym=nyp=ny, , ток пучка I0 амплитуда сигнала e0. Анализ показывает, что в волноводе при таких размерах распространяется 12 типов волн, однако в результате расчетов выяснилось, что основной "паразитной" волной в рассматриваемой ЛБВ-О является волна НЕ11, которая связана в нерегулярном волноводе с волной Е11 и оказывает существенное влияние на процесс усиления. Все другие распространяющиеся типы волн не возбуждаются.

Был произведен поиск оптимизированных по величине волнового КПД вариантов ЛБВ-О в диапазоне напряжений электронного пучка (0.5≤β0≤0.85). Анализ полученных результатов показал необходимость учета НE11 - волны. Оказалось, что предварительные расчеты по упрощенной модели с учетом только Е11- волны дают значительную погрешность. При β0 >0.7 были най-

дены варианты с КПД 36% на регулярной гребенке и с КПД 57% на нерегулярной. Ниже приведены два варианта.

Вариант1(регулярная гребенка):

В этом варианте глубина гофра изменяется в пределах 1.005 < hy <1.345.

За счет оптимального профилирования глубины гофра эффективность лампы может быть увеличена примерно в 1.5-2 раза.

Таким образом, полученная математическая модель позволяет производить расчеты и оптимизацию ЛБВ-О с нерегулярным профилем гофра замедляющей системы. Проведенные исследования показали высокую эффективность ЛБВ-О с замедляющей системой в виде гребенки с оптимально профилированным гофром. Причем, с увеличением напряжения электронного пучка КПД такой лампы возрастает.

Заграждающий фильтр на основе периодического гофра. Рассмотрим расчет заграждающего фильтра для волны Н10 - типа. Геометрия отрезка волновода, выполняющего функции фильтра представлена на Рис. 8.4. Профиль гофра задавался формулами (8.101).

123

При расчете фильтра граничные условия выбираются следующим образом. На входе задаются падающая Н10 волна с амплитудой e&01м+ =1 + j0 и от-

раженная e&01м− = e0 e jϕ0 . Амплитуды всех других волн задавались равными

нулю. На выходном конце при z=L задается условие отсутствия встречной волны P–(L)=0 и минимизируется величина проходящей мощности P+(L). В

уравнениях (19)-(24) полагается I&C = I&Be = I&Bм =0 .

Задавались значения Dx0 , Dy0 и методом пристрелки подбирались зна-

чения e0, ϕ0, L, hy, ny из условия P–(L)=0 и min P+(L).

Расчеты, в частности, показали, что при Dx0 < π, Dy0 < π, (т.е. пока не распространяются волны Н12, Е12), рассматриваемый периодический фильтр (hy=const) при ny=10 обеспечивает 25ДБ затухания. При этом волны Н01, Н11,

Е11 не возбуждаются.

Один из вариантов такого фильтра приведен ниже:

Dx0 = 1.75, Dy0 = 2.75, L =70.5 , nv = 10, hy=1.38, P+(L)/P+(0) =

0.0034.

На Рис. 8.5 приведено распределение мощностей прямой и встречной волн (8.99) P+(z), P–(z). Полоса заграждения такого фильтра уменьшается с увеличением ny.

Расчет дисперсионных характеристик периодического волновода. При расчете дисперсионных характеристик волн в периодических волноводах искомое решение для поля в волноводе подчиняется условию Флоке:

124

здесь d - период, 0 ≤ϕ0 ≤π - набег фазы нулевой пространственной гармоники поля. Постоянные распространения пространственных гармоник определяются через ϕ0 и d по формуле:

щее условию Флоке, является суперпозицией попутной и встречной волн и не реализуется в практически важных случаях, когда необходимо выполнение условий согласования. Однако, пространственные гармоники всегда присутствуют в волновом поле периодического волновода, хотя их амплитуды отличны от тех, которые реализуются в волновом поле Флоке. Поэтому знание их постоянных распространения позволяет предсказывать условия усиления и генерации волн электронными потоками.

В качестве примера расчета на Рис. 8.6. приведена зависимость ϕ0(W) для периодического гофрированного волновода, используемого в приведенном выше варианте 1 ЛБВ-0. Верхняя кривая соответствует расчету для Е11+НЕ11 волны, нижняя - для Е11 без учета НЕ11. Анализ показывает, что при

W& =1 нулевая пространственная гармоника Е11+НЕ11 имеет замедление βφ0 = 0.71, эта же гармоника Е11-волны имеет замедление βφ0 =0.755 . Таким

образом, усиление в этом варианте реализуется при синхронизме именно с пространственной гармоникой комбинированной Е11+НЕ11 волны.

Развитая строгая теория произвольно-нерегулярного волновода с прямоугольным сечением позволяет корректно решать широкий круг задач анализа и оптимизации электронных приборов и устройств СВЧ. Приведенные в статье примеры демонстрируют недопустимость использования в этих задачах упрощенных теорий, в которых не учитывается связь различных типов волн в нерегулярных периодических и непериодических волноводах.

125

126

8.9 Т-функции для решения двухточечных задач в теории нерегулярных волноводов

В п.8.4 развита общая теория произвольно-нерегулярных волноводов, основанная на отображении произвольно-нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр. В преобразованной (косоугольной) системе координат решение представляется в виде связанных нормальных волн с использованием проекционной процедуры. При этом амплитуды связанных волн определяются системой ОДУ с переменными коэффициентами, вид которых определяется профилем нерегулярного волновода. Граничные условия к этой системе ставятся в начальном и конечном сечении отрезка нерегулярного волновода (двухточечная задача). Решение этой задачи традиционными методами не встречает затруднений, если рассматриваются только распространяющиеся волны. Как показано ниже, для точного расчета волновода необходим учет и связанных с распространяющимися закритических волн, существенно меняющих характеристики волновода. Однако для закритических волн численное решение граничной (двухточечной) задачи с использованием пошаговых методов типа Рунге-Кутта или Хемминга невозможно из-за их быстрой расходимости (из-за малых ошибок появляются резко возрастающие решения). В этом случае необходимо строить аналитические решения на системе заданных узловых точек, удовлетворяющие граничным условиям краевой задачи и представляющие собой разложение искомых функций в базисе специальных функций, обеспечивающих разрешимость получающейся системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Такие специальные дискретно определенные Т-функции введены и описаны ниже.

8.9.1 Т-функции

Будем предполагать, что эти функции определены на системе N равноотстоящих точек tm: t0, t1…tN-1 интервала LN. Интервал LN определим следующим образом:

127

функций на дискретном множестве точек tm, приводящее к аналитическим решениям: производные от этих функций на множестве tm с точностью до коэффициента равны самим функциям. Действительно:

8.9.2 Взаимодействие Hoi волн в гофрированном волноводе с круговым сечением

Воспользуемся общей теорией нерегулярных волноводов, развитой в [26]. В рассматриваемом случае система дифференциальных уравнений для

амплитуд связанных волн H01(A&1 ), …, H0i (A&i ) имеет вид (источники внутри отрезка волновода отсутствуют):

i =1,2, ...

Здесь Т = 2λπ z, z - расстояние вдоль оси волновода, 0 ≤T ≤ L0 , λ -

длина волны в свободном пространстве; g(T) = b(z)/b1кр, b(z) – радиус внут-

129