Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004

пространственное затухание волнового процесса в среде с джоулевыми потерями.

Таким образом, из УМ непосредственно следует, что электромагнитные процессы имеют волновой характер и, следовательно, любое ЭМП представимо как некоторое наложение электромагнитных волн.

5.2. Электродинамические потенциалы

Установим далее формулы, выражающие напряженность электрическо-

го поля E иr индукцию магнитного поля B через электродинамические по-

тенциалы A (векторный) и Ф (скалярный). Для этого обратимся к системе уравнений Максвелла.

Четвертое уравнение Максвелла утверждает, что поле B чисто вихревое:

Подставляя в (5.10) выражение B (5.9) и имея в виду, что координаты и время в используемой лабораторной системе отсчета независимы, получим

31

Введенные таким образом функции координат и времени Ar(rr,t), Ф(rr,t)

(сrтрадиционным следованием знаков), как известно, и являются векторным r r

(A)и скалярным (Ф) потенциалами электромагнитного поля E, B . Заметим, что такое определение потенциалов является очевидным

образом неоднозначным. Действительно, поле E, B не изменяется, если r

вместо исходных A , Ф использовать A′, Ф′, определенные следующим образом:

Таким образом, векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции f (x, y, z,t), а скалярный – с точностью до

производной той же функции по времени ∂f (x, y, z,t). Это означает, что

∂t

электродинамические потенциалы могут быть доопределены путем наложения на них любого условия связи, ненарушающего (5.13). Это весьма важный момент, позволяющий существенно улучшить вычислительную процедуру при решении электродинамических задач путем соответствующего выбора указанного условия.

Налагаемые на электродинамические потенциалы условия или связи называются условиями калибровки потенциалов. Из (5.13) очевидно, что

Здесь εa , µa - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости пространства, которые при записи (5.14), (5.15) считались постоянными, δ - плотность электрического тока, ρ - плотность электрического заряда.

32

В дальнейшем мы будем использовать калибровку Лоренца (5.18), поскольку уравнения (5.19), (5.20) в этом случае наиболее просто связывают

электродинамические потенциалы с их источниками - δ и ρ .

5.3.Электричеcкий вектор Герца или поляризационный потенциал

Определим векторный потенциал через электрический вектор Герца Пe следующим образом:

A = εa µa ∂∂Пtе .

Скалярный потенциал Ф определим через Пe так, чтобы выполнялось условие калибровки Лоренца (5.18) :

εaµa ∂∂Фt = −div Ar = −εaµa ∂∂t div Пrе,

тогда Ф = −div Пrе.

Подчеркнем, что указанные определения возможны только при ∂∂t ≠ 0,

т.е. для чисто переменных полей. В общем случае, когда имеются статиче-

34

5.4. Фиктивные магнитные точки и заряды. Перестановочная двойственность УМ.

Магнитный вектор Герца

Обратимся теперь к замкнутым токам. Как известно из решения задач магнитостатики, магнитное поле рамки с током i соответствует полю маг-

нитного диполя, т.е. магнитный момент M замкнутого тока определяется как

Mr = iµa Snr,

где Snr - вектор-площадка, охватываемая током i. С другой стороны, можно представить, что

Mr = iµa Snr = rlqm ,

где qm – магнитные заряды диполя длиной l.

В свою очередь, im = dqdtm , где im – разомкнутый магнитный ток.

Таким образом, замкнутый ток i создает поле, подобное тому, которое возбуждает разомкнутый магнитный ток im. Такие эквивалентные qm и im называются фиктивными магнитными зарядами и токами. В ряде случаев такая замена эффективна, поскольку позволяет не решать непосредственно поставленную задачу, а воспользоваться уже решенной с соответствующими переобозначениями.

При введении фиктивных магнитных токов и зарядов УМ переписываются следующим образом:

Очевидно от системы (5.34)...(5.37) можно перейти к исходным УМ путем следующих переобозначений:

37

Это свойство называется перестановочной двойственностью УМ. Это свойство позволяет, как указывалось выше, не решать ряд задач непосредственно, а воспользоваться переобозначениями в решении, относящемся к “двойственной” задаче. В частности, очевидно, что задачу возбуждения ЭМП замкнутыми токами решать нет смысла как самостоятельную, т.к. она формулируется как задача возбуждения ЭМП разомкнутыми магнитными токами, т.е. в виде двойственной уже решенной задаче возбуждения ЭМП разомкнутыми электрическими токами.

Для разомкнутых магнитных токов, как и в электрическом случае, имеет место связь

ца Пr тПо: аналогии с “электрической” задачей введем магнитный вектор Гер-

Подставляя (5.39), (5.40) в (5.38), получаем при ∂∂t ≠ 0 следующее вол-

новое уравнение для Пr т :

Структура уравнения (5.41) полностью идентична (5.33), что непосредственно может быть использовано при решении двойственных задач путем переобозначений.

38

Опять можно отметить, что если специфика задачи такова, что при Jrcm = Zr0 Jcm , достаточно использовать только одну компоненту Пr т =Z0 Пzm . Компонентой Пzm определяются в соответствии с (5.39) ЭМП, в которых отсутствует компонента Ez. Такие поля называются поперечно-электрическими.

5.5. Граничные условия для Пzm и Пze на идеально

проводящих продольных и поперечных поверхностях

Для большой группы задач, относящихся к регулярным волноводам и резонаторам, ЭМП может быть представлено в виде суперпозиции попереч- но-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) полей (Самарский А.А., Тихонов А.Н. «О представлении полей в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ, ЖТФ 1948 – т.18, №7 – с.959-970»). Поскольку эти поля выражаются со-

ответственно через Пzm и Пze, важнейшее значение приобретает формули-

ровка граничных значений (ГУ) для этих функций на идеально проводящих продольных и поперечных стенках указанных устройств.

Введем обобщенно-цилиндрическую систему координат q1,q2 ,Z , где q1,q2 - обобщенные криволинейные в общем случае координаты в попереч-

ной к Z плоскости Q3.

Координатные поверхности в этой системе определяются следующим образом :

Q1 : q1 = Const; Q2 : q2 = Const; Q3 : Z = Const .

Соответственно направляющие вектора системы определяются как

er1 dqr1 Q1, er2 dqr2 Q 2 , Z0 .

ГУ для Пze .

Будем исходить из того, что тангенциальная составляющая E на идеально проводящей поверхности S равна нулю. Таким образом,

Запишем E , выраженное через Z0 Пze :

39

h1, h2 – соответственно метрические коэффициенты Ламэ обобщенных

координат q1, q2.

Таким образом, имеем

Это условие должно выполняться при любых Z, q1 или Z, q2, следовательно, необходимо потребовать

Иначе говоря, на идеально проводящих боковых стенках Q1, Q2 Пze об-

ращается в ноль.

Условие на поперечной стенке Q3 имеет вид

40