Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Электродинамика

Файл:

Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004

.pdf

Скачиваний:

383

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 342 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Введем тензор

		ε
t		ε
εa	=	ε
		ε
		ε

xx	ε	xy	ε
xx		xy		xz
yx	ε yy		ε	yz .	(1.14)
	εzy		ε
zx	εzy		ε	zz

Здесь индекс «а» означает абсолютное (полное) значение величины εa ,

а не относительное (по отношению к ε0) значение, которое мы в дальнейшем будем записывать без индекса. t

Используя тензор диэлектрической проницаемости εa , уравнение для линейных сред можно записать в форме

r	t	r				(1.15)
D = εa E .
Аналогичным образом вводятся тензоры магнитной проницаемости µa
и удельной проводимости σ .
Соответственно					r
r	t	r	r	t		(1.16)
B = µa H ,			δ =σ		E.

Среда называется изотропной, если εij=0, при условии

i ≠ j, εii = εa ,			µij = 0 при i ≠ j, µii = µa и σij = 0 при i ≠ j,			σii =σ .
(1.17)
r	r r		r	r	s
Тогда D	E, B	H , δ			E и материальные уравнения имеют вид
r	r				r r
D	=εa E, B = µa H , δ =σE .					(1.18)

Среда называется однородной, если εa , µa , σ не зависят от координат

вtрассматриваемом объеме V. В противном случае

εa (x, y, z), µta (x, y, z), σt(x, y, z) и среда – неоднородная.

Обычно рассматриваются случаи, когда элементы среды мгновенно реагируют на ЭМП, и поэтому обычно εa , µa , σ ≠ f (t).

Однако важны и противоположные ситуации, которые мы далее отдельно рассмотрим.

Дополним изложенное некоторыми элементарными физическими представлениями.

r Какr указывалосьr r выше, в вакууме имеют место связи

D =ε0 E, B = µ0 H.

Во всех других средах имеются связанные (или свободные) заряды, а также элементарные замкнутые токи, образующие магнитные диполи. Под

действием внешнего электрического поля E происходит смещение связан-

ных зарядов или переориентация электрических диполей элементарных частиц, что приводит к поляризации в среде, которая характеризуется вектором

поляризации среды P , который в общем случае (наличие внутренних полей)

не коллинеарен E . Точно также под действием магнитного поля H возникает преимущественная ориентация магнитных диполей, т.е. происходитr на-

магничивание среды, характеризуемое вектором намагничивания J. По оп-

r				r			r
ределению p = liт			∑ Pi		∆V ,		Pi − элементарные электрические момен-
		∆V →0	ri ∆V
ты в объеме ∆V , т.е. p - удельный электрический момент в среде, иници-
			r					r r
руемый внешним полем E . Поэтому разумно предположить, что p = p(E) и
				r
в линейном приближении p = э E , где э - тензор диэлектрической вос-
приимчивости вещества.
		r	= liт			r		r
Аналогично J			= liт			∑ Mi ∆V ,		Mi - элементарные магнитные
			∆V →r0		i ∆V
моменты в объеме ∆V и J				= м H , м - тензор магнитной восприимчиво-
сти вещества.
Таким образом, в отличие от пустоты (вакуума) в среде имеют место
связи
r	r	r	t			t	E ,	(1.19)
D = ε0	E + p =		(ε0 + э)E = εa				E ,	(1.19)
r	r	r
B = µ0	H	+ J = (µ0 + м )H = µta H .

Однако существует класс сред, называемых киральными (хиральными, чиральнымиr r r r –r chiral), в которых имеют место более общие связи типа

D(E, H ), B(H , E). Такие среды могут быть естественными (например, био-

логические – их особые оптические свойства открыты Пастером еще в 1848 г.) или искусственными – композитными. На примере последних проиллюстрируем свойства киральных сред. Пусть в изотропном диэлектрическом наполнителе равномерно расположены упорядоченно (бианизатропная среда) или стохастически (биизотропная среда) медные спиральки с размерами, зна-


a)		б)
	Рис. 1.1

чительно меньшими рабочей длины волны – рис.1.1. а, б.

a)	б)	в)
	Рис.	1.2

Механизм образования киральной поляризации под действием внешне-

го магнитного поля H иллюстрирует рис.1.2. Переменное магнитное поле H (рис. 1.2а) индуцирует в соответствии законом электромагнитной индукции Фарадея ЭДС Эi в каждом из витков спиральки (рис. 1.2бr). В результате

вдоль длины спиральки образуется электрическое поле Ei , которое эквива-

лентно полю электрического диполя (рис. 1.2б). Таким образом, за счет маг-
	r			r
нитного поля H образуется элементарный диполь Pi (H )					. В результате воз-
никает киральная составляющая вектора поляризованности среды
r	r		r r		(1.20)
pk (H )= liт			∑ Pi (H )	∆V .	(1.20)
	∆V →0	i ∆V

На рис.1.3. иллюстрируется процесс возникновения киральнойr намагниченности. За счет действия внешнего электрического поля E (рис. 1.3а) в прово-

дящей спиральке возникают токи iϕ (рис. 1.3б), образующие вокруг спираль- r

ки магнитное поле Hi , аналогичное полю магнитного диполя (рис. 1.3в). В

результате возникает магнитный момент Мi				(рис. 1.3г). Следствием этого
является образование киральной намагниченности
r r		r r		(1.21)
Jk (E)= liт		∑ Mi (E )	∆V .	(1.21)
∆V →0	i ∆V

Таким образом, в киральных средах следует записывать материальные уравнения в виде

a)	б)	в)	г)
		Рис. 1.3

r r r		r	r	r	+ P (H ),	(1.22)
D(E, H )=ε	0	E + P(E)
r r r		r	r	r	k
B(H , E)= µ0 H + J				(H )+ Jk (E).

Уравнения Друде-Борна-Федорова дают эти связи в случае биизотропных сред (изотропных киральных сред) в виде

r	r	r
D =εa E		+ β εa rot E,	(1.23)
r	r	r	(1.23)
B	= µa H + β µa rot H ,

где β - коэффицент киральности.

Резко возросший в последнее время интерес к киральным средам связан, с одной стороны, с биологическими исследованиями влияния СВЧ излучений и, с другой стороны, с военными технологиями в связи с созданием «невидимых» бомбардировщиков типа «Стелс», Б-2.

ГЛАВА II

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭМП

Во многих задачах электродинамики вводятся границы раздела двух сред, обладающих различными электрическими и магнитными свойствами, т.е. εa , µa , σ для двух сред различны (достаточно, конечно, различия и одно-

го из параметров).

В связи с тем, что свойства среды меняются скачкообразно в макроскопическом приближении, вектора ЭМП терпят разрыв на границе раздела двух сред. Это означает, что дифференциальные соотношения на границе теряют смысл. Поэтому здесь в дополнение к УМ вводятся граничные условия (ГУ), связывающие тангенциальные (касательные) и нормальные составляющие векторов поля на обеих сторонах границы.

Эти ГУ устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.

2.1. ГУ для тангенциальных составляющих векторов ЭМП

Граничные условия для тангециальных составляющих электрического поля

Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Выделим элементарный плоский прямоугольный участок вблизи границы, отвечающий следующим трем условиям:

1)границу в его пределах можно считать плоской;

2)среды 1 и 2 в пределах этого участка однородны;

3)поля в пределах этого участка не изменяются.

Введем систему векторов, определяющих ориентацию плоскости участка и направление обхода его границы (рис. 2.2):

1) nr - вектор нормали к S, направление и антинаправление вертикальных перемещений по контуру участка;

2)τr - тангенциальный к S вектор, направление и антинаправление горизонтальныхr перемещений по контуру участка;

3)N - вектор бинормали, направление вектор-площади участка.

Три вектора образуют правую тройку: τr = [N, nr]. Запишем второе УМ в интегральной форме:

		r
r	r	∂B	r
∫Edl = −∫		∂t	dSN.
l	s	∂t
l	s

Применим его к выделенному элементарному участку, используя его свойства:

		r	r	2	∂Bi	r
	∆lτr(E1		− E2 )+ ∆hE = −∑		∂Bi	h∆lN,		(2.1)
	∆lτr(E1		− E2 )+ ∆hE = −∑			h∆lN,		(2.1)
				i =1	∂t
	∆hE - элемент циркуляции E по вертикальным участкам контура.
	Перейдем к пределу h → 0. Учтем при этом, что на границе
r		r
r		∂B
E	→/ ∞,	∂B	→/ ∞, и поэтому правая часть уравнения и ∆				hE	обращаются в
E	→/ ∞,		→/ ∞, и поэтому правая часть уравнения и ∆					обращаются в
1,2		∂t
		∂t
нуль. В итоге получаем
	r		r	Е1τ − Е2τ = 0 ,
	τr(E1 − E2 )= 0 или			Е1τ − Е2τ = 0 ,				(2.2)

т.е. тангециальные составляющие E непрерывны при переходе границы раздела любых двух сред. Физически это связано с тем, что поверхностных магнитных токов не существуетr . Придадим общность полученному ре-

зультату. Учтем, что τr = [N, nr]. Тогда

r	r		r	− E		)]N = 0.
(E	− E	2	)[N , nr ]= [nr,(E	− E	2	)]N = 0.
1		2	1		2
						r
Наши результаты справедливы для любой ориентации N площадки.
			r
Ввиду произвольности N получаем:
	r	− E2 )]s = 0.
[nr, (E1		− E2 )]s = 0.				(2.3)

Граничные условия для тангециальных составляющих напряженности магнитного поля

Запишем первое УМ в интегральной форме:

r r r	r	r
∫ Hd l = ∫δ	dSN + ∫∂∂Dt	dSN.

ls s

Применим это уравнение к ранее рассмотренному элементарному участку, используя его три свойства:

∂D

2 r

∆lτ

(H1

− H2 )+ ∆hH = ∑

h∆lN + ∑δi ∆lhN.

(2.4)

i =1

∂t

i =1

Перейдем к пределу h → 0.

∂Di

При этом H1,2

→/ ∞,

→/

∞ на S.

∂t

Но для тока такое утверждение неверно, поскольку при определенной идеализации ток может протекать по поверхности, не занимая объем (поверхностный ток).

Такая ситуация возникает в случае, когда одна из сред предполагается идеально проводящей. Введем понятие поверхностного тока:

r		r	A
δS	= liт hδ			.	(2.5)
δS	= liт hδ			.	(2.5)
	h→0		M
С учетом сказанного в пределе h → 0 получаем
	r			r r
τr(H1 − H 2 )= δS N , или H1τ − H 2τ = δSN ,					(2.6)
т.е. разрыв тангенциальных составляющих H равен поверхностному
электрическому току.
Проведем обобщение:
r	r		r
[N	, nr](H1	− H 2 )= [nr, (H1 − H 2 )]N = δS N.
В связи с произвольной ориентацией N имеем
	r			r
[nr, (H1 − H 2 )]= δS .					(2.7)

Физически этот разрыв обусловлен возникновением двойного магнитного слоя на поверхности, где протекает поверхностный ток.

2.2. ГУ для нормальных составляющих векторов ЭМП

ГУ для нормальных составляющих векторов D

Рассмотрим цилиндрический

объем ∆V с основанием ∆S и высотами h

в 1 и 2 средах (Рис.2.3).

Объем будем считать

элементарным со следующими

признаками:

в пределах ∆V - ∆S – плоская;

в пределах ∆V среды 1 и 2

однородные;

в пределах ∆V поля в средах 1 и

Рис. 2.3.

2 не изменяются

Запишем третье УМ в интегральной форме:

∫DdSnr r = q = ∫ ρ dV .

∆V

Поскольку существуют поверхностные заряды, введем понятие о плотности поверностного заряда:

ρS = liтhρ

(2.8)

h→0

Перепишем третье УМ, учитывая все признаки элементарности ∆V:

+ Фбоке

nr0 ∆S(D1

− D2 )

= ∑ρi ∆Sh,

(2.9)

i=1

Фбоке - электрический поток через боковую поверхность цилиндра.

Перейдем теперь к пределу h → 0

, учитывая, что D1,2

→/ ∞ и поэтому

Фе

→ 0 . При этом получим

бок

(2.10)

(D − D )= ρ

т.е. разрыв нормальных составляющих D равен поверхностной плотности электрического заряда на граничной поверхности.

Если ρS = 0, то D1п = D2n или εa1E1n нормальных составляющих вектора E :

E1n = εa2 .

E2n εa1

=εa2 E2n и имеет место разрыв

(2.11)

Аналогичные действия с третьим УМ приводят к следующему резуль-

тату для Hn :
	H1n	=	µa2 .	(2.12)

	H2n		µa1

Важным частным случаем является тот, когда среда 2 идеализируется как бесконечно проводящая. В этом случае на любой частоте поле в эту среду не проникает. Тогда полученная система ГУ преобразуется в следующую:

[nr, E]

= 0,

[nr, H ]

=δ

= ρ

, H

= 0 .

(2.13)

В этом случае достаточно двух условий:

Eτ		S = 0, Нn		S = 0 .	(2.14)

В заключение необходимо отметить, что ГУ, сформулированные выше, относятся к простейшему случаю: граница S гладкая (т.е. не имеет изломов), а среды 1 и 2 – изотропные. В общем случае следует обратиться к специальной литературе, например:

Вайнштейн Л.А., Журав С.М., Суков А.И., К расчету омических потерь на краях тонких металлических полосок. Докл. АН СССР, 1986, т.289, N6, с. 1338-1342. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Электродинамика анизотропных волноведущих структур. М.: Наука, 1983. – 223 с.

ГЛАВА III

ЭНЕРГИЯ ЭМП

3.1. Удельная мощность сторонних источников в ЭМП Мощность сторонних источников

ЭМП, как один из видов материи, является носителем энергии. Электромагнитная энергия может преобразовываться в любой другой вид энергии: механическую (ускорение зарядов), тепловую, химическую, внутреннюю энергию кристалла, молекулы, атома и т.д. И, наоборот, все перечисленные виды энергии могут преобразовываться в электромагнитную энергию.

Рассмотрим произведение δ E и распишем его в конечных приращени-

ях:
r r	rr	∆q	r		r		∆A
r r	rr	∆q	∆l		r		∆A		r
δ E	= ρυE ≡			E =				=	рП .	(3.1)
δ E	= ρυE ≡	∆V	∆t	E =		∆t∆V		=	рП .	(3.1)
		∆V	∆t			∆t∆V
Здесь ∆А – работа силы поля в объеме ∆V за время ∆t, рП – удельная
мощность потерь (в пределе ∆V → 0 ).
Рассмотрим джоулевы потери: δ =σ E . Тогда
pПσ	r	= σ E 2 .
pПσ	=σ EE	= σ E 2 .								(3.2)
Однако плотность тока δ							может создаваться не только рассматривае-

мым полем, но и сторонними по отношению к этому полю силами, которые могут иметь и не электромагнитную природу (например, силы инерции дви-

жущихся электронов в электронных приборах типа «О»).		r		r
		r	=σ	r
Поэтому плотность тока δ можно представить в виде δ			=σ	E + δст,
где δrcm характеризует действие сторонних источников. Теперь полная
удельная мощность в данном поле может быть записана как
rr	r r
p = δE = δE 2	+δстЕ = pПб − pст ,			(3.3)

где pcт - мощность сторонних источников, отдаваемая данному полю (этим определяется знак pcт ). Такимr образом, мощность сторонних источников определяется как pcт = −δcтE .

3.2. Баланс энергии в ЭМП. Теорема Умова-Пойтинга

Вначале докажем следующее векторное тождество:

<<< < Предыдущая 12 / 342 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электродинамика

#
15.06.201460 Кб1731 вопрос к зачёту.pdf
#
15.06.20145 Мб383Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004.pdf
#
15.06.201492 Кб13Лаба 7 Исследование цилиндрического резонатора.docx