Обозначим

С учетом этого обозначения УМ в комплексной форме приобретают

вид

4.2. Теорема о комплексной мощности

Составим баланс энергии в комплексной форме. Для этого умножим

первое комплексно сопряженное УМ на (− Er&), второе – на Hr& * и сложим. В результате получим

div[Er&,Hr&*]=−jω{µ&a Hm2 −ε&a* Em2 }− Er&δr&cm* =

= − jω{µ'a Hm2 −ε'a Em2 }−ω{µ"a Hm2 + ε"a Em2 }−δr&cm* Er& . (4.10)

Определим среднее за период Т величины:

27

Учитывая перечисленное, баланс энергии в дифференциальной форме

можно записать в виде

div Sr&0 + рПТ + 2 jω{wMT − wэТ}= pcm .

В интегральной форме баланс энергии имеет вид s∫Sr&0dSr + PT + 2 jω {W TM −W Tэ}= Pcm .

Разделяя действительную и мнимую части уравнения, получаем теорему об активной мощности :

Re s∫Sr&0dSr + PTП = Pa ,

и теорему о реактивной мощности :

Jms∫Sr&0dSr + 2ω {W TM −W Tэ}= Pr .

Теорему об активной мощности можно более подробно записать так :

Смысл теоремы об активной мощности : активная мощность Ра , развиваемая в объеме V, расходуется на потери в V и активную мощность излучения через граничную поверхность S.

Для выяснения смысла теоремы о реактивной мощности рассмотрим случай, когда поток реактивной мощности через граничную поверхность S отсутствует. Тогда

2ω {W TM −W Tэ}= Pr

Если частота источника ω соответствует одной из резонансных частот объема V −ωoi , W TM =W Тэ и реактивная мощность Рr=0.

При ω < ωoi W TM > W Tэ и нужен сторонний накопитель электрической

энергии, которым становится источник питания данного объема (причем обмен энергии происходит дважды за период). Таким образом, реактивная мощность Рr количественно описывает колебания энергии между источником и нагрузкой при ω ≠ωoi .

28

ко функции источников поля, поскольку токи проводимости сами по себе не создают ρпров . Докажем это.

Всоответствии с уравнением непрерывности

∂ρ∂провt = −divδrпров = −σ divEr = −εσa ρпров .

Впоследнем приравнивании учтено (5.3) при условии ρстор = 0 . Таким образом, для ρпров имеем следующее уравнение:

ние ρпров . Таким образом, в установившемся режиме (t → ∞) ρпров = 0. Поэтому ρпров ≠ 0 только в присутствии сторонних источников, тогда в уравне-

нии (5.6) появляется ненулевая величина − σ ρ стор.

εа

Получим волновое уравнение для вектора Н . С этой целью применим к обеим частям уравнения (5.1) операцию rot:

Далее воспользуемся уравнениями (5.2), (5.4), а также тождествомr

rot rot Hr = grad div Hr − 2 H . При этом получим, учитывая, что δ =σ E +δcm

Левые части волновых уравнений для вектора E (5.5) и вектора Н (5.7) идентичны. Это свидетельствует о том, что в пространстве, свободном от ис-

точников (т.е. когда правые части (5.5) и (5.6) равны нулю) вектора E и Н имеют одинаковый волновой характер. Как следует из теории волновых

уравнений, коэффициент при вторых производных по времени равен Vф−2 (Vф

- фазовая скорость волнового процесса в среде). Таким образом, фазовая скорость волнового электромагнитного процесса в свободном пространстве

30