ГЛАВА XXIП

ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭМП, ОБЛАДАЮЩИХ СИММЕТРИЕЙ

Во многих случаях электромагнитное поле в электронных приборах и устройствах СВЧ обладает симметрией в пространстве или имеет простые связи координат и времени (вращающееся поле, бегущая волна, поляризованная по кругу волна). В этих случаях легко определяются первые интегралы движения электронов, которые носят название законов сохранения. Законы сохранения играют важную роль в теории электронных приборов по следующим причинам:

1.Они позволяют получить ценную информацию о специфике процессов взаимодействия электрона с электромагнитными полями и произвести анализ этих процессов, не прибегая к численному решению задач. При этом могут быть получены весьма общие и далеко идущие выводы; в частности, во многих случаях еще до решения задачи может быть решен вопрос о возможности или невозможности полезного эффекта при том или другом новом механизме взаимодействия в приборе (если закон сохранения противоречит условиям получения полезного эффекта, то этого эффекта, естественно, не будет).

2.Законы сохранения позволяют контролировать точность численных расчетов. Кроме того, они позволяют эффективно контролировать и правильность формулировки приближенных математических моделей процессов взаимодействия в различных схемах приборов (в этих моделях неизбежны те или иные приближения, т.е. некоторые эффекты и явления игнорируются). Действительно, если интегралы, следующие из приближенных уравнений, противоречат точным, то очевидно, что приближенная модель ошибочна.

3.Законы сохранения могут быть использованы и непосредственно для понижения порядка системы нелинейных уравнений, описывающих процесс взаимодействия электронов с электромагнитными полями.

Наиболее важными являются интегралы движения, не содержащие полевых составляющих. Эти интегралы связывают не только параметры движения электрона, но и позволяют получить достаточно глубокие и определенные выводы о характере этого движения.

23.1 Уравнения движения электрона в форме Лагранжа.

Исходными для построения законов сохранения являются уравнения движения в форме Лагранжа

Здесь pi – обобщенный импульс; qi – соответствующая обобщенная координата; L – функция Лагранжа, которая для электрона имеет вид

310

где m0r, е – масса покоя и заряда электрона; с – скорость света; υ - его

скорость; A , Φ - векторный и скалярный потенциалы полного поля. Полная энергия электрона выражается как

Используя (23.1) – (23.3), получаем необходимое для дальнейших преобразований тождество. Для этого продифференцируем (23.3) по времени t и

23.2Поступательная (трансляционная) симметрия

Вслучае поступательной симметрии Α, Φ ≠ f (z), и поэтомуL ≠ f (z).

лярной волноводной системой при настройке на критическую длину волны).

Обратимся к рис. 23.1, поясняющему механизм взаимодействия в рассматриваемом случае. На рис. 23.1,а изображен участок круглого волновода на частоте отсечки волны Н01. В этом случае фазовая скорость υф → ∞ и рас-

пределение компонентов поля не зависит от z. Винтовой электронный поток,

311

формируемый продольным магнитостатическим полем с индукцией В0 , взаимодействует с компонентами поля Н01. Траектория электрона в однород-

ном продольном магнитном поле с индукцией В0 имеет вид спирали, как это изображено на рис. 23.1,а. На рис. 23.1,б изображено поперечное вращение электрона в однородном магнитном поле.

Рис. 23.1.

Здесь а – радиус вращения электрона (радиус ларморовской орбиты); υ

центростремительной, в качестве которой выступает магнитная составляющая силы Лоренца еB0υ . Если считать, что круговое движение электрона не возмущается, то υ = a Ω, где Ω - угловая частота вращения электрона в магнитном поле В0 .

Из баланса сил следует Ω= B0e . Эта формула показывает, что вращение m

электрона в постоянном магнитном поле неизохронно, т.е. угловая частота вращения Ω зависит от массы электрона m% : с ростом массы (т. е. при ускорении электрона) его частота вращения уменьшается; у тормозящегося электрона частота вращения, наоборот, возрастает. За счет этого возможна релятивистская фазовая группировка электронов, лежащая в основе механизма взаимодействия в гирорезонансных приборах. Для накопления эффектов взаимодействия необходимо, чтобы фаза средней за период вращения силы

312

электромагнитного поля, воздействующей на электрон, изменялась медленно во времени. Такое условие (называемое условием синхронизма) обеспечивается при kΩ ≈ω , где k — целое число.

На рис. 23.1,в иллюстрируется случай k = l. В момент t0 электрическое поле достигает максимального значения: при этом электрон r1 оказываетсяr в

максимальной тормозящей фазе поля (электрическая сила F = −eE направлена противоположно вектору его скорости), электрон 2 — в максимальной ускоряющей фазе, электроны 3 и 4 «нейтральны»: воздействующие на них

силы нормальны к траектории. Через полупериод в момент t = t0 + T2 , как

видно из рис. 23.1, в, относительные фазы электронов во внешнем поле не меняются: электрон 1 опять оказывается в тормозящей фазе, 2 — в ускоряющей, электроны 3, 4 остаются «нейтральными». Очевидно, что с течением времени масса электрона 1 уменьшится, а электрона 2 увеличится. Изменение же частоты вращения будет обратным, за счет этого изменения электроны 1 и 2 сблизятся с электроном 4; произойдет, следовательно, фазовая группировка.

На рис. 23.1,г иллюстрируется случай ω ≈ 2Ω. При этом наиболее выгодным является положение ведущего центра орбиты электрона в узле рас-

пределения поперечной составляющей Е. Теперь электроны 1, 2 — тормозящиеся, 3, 4 — ускоряющиеся. Очевидно, что если электронный поток на входе области взаимодействия имеет равномерное по фазам вращения распределение электронов (равноперемешанный поток), то за счет фазовой группировки при k = 2 возникают два фазовых сгустка: тормозящиеся электроны 1 сближаются с ускоряющимися электронами 4, а электроны 2 — с электронами 3.

Вернемся теперь к интегралу движения (23.6). Как видно из структуры

водит к очевидному, но тем не менее интересному с физической точки зрения выводу: тормозящийся электрон (масса которого уменьшается) ускоряется по направлению z (релятивистское ускорение).

Рассмотрим опять случай гирорезонансного взаимодействия электронов, теперь уже с полем Emn0 . На рис. 23.2,а рассмотрено взаимодействие винто-

вого электронного потока с полем E110 круглого резонатора. Теперь, в отличие от предыдущего случая, имеются синхронные

313

Рис . 23.2.

составляющие как продольной магнитной, так и продольной электрической сил Лоренца. Образование синхронной составляющей силы Fez = −eEz иллю-

стрирует рис. 23.2, б. Для существования этой составляющей достаточно поперечной неоднородности в распределении Ez ; наиболее же ясна ситуация,

когда ведущий центр электронной орбиты совпадает с узлом распределения Ez , как это показано на рис. 23.2, б.

Обратимся теперь к интегралу (23.7). Положим, что выполняются условия резонансного взаимодействия на k −й гармонике циклотронной частоты (т. е. ω ≈ kΩ). В этом случае эффекты взаимодействия носят кумулятивный характер и значительные изменения параметров движения электрона возможны в относительно слабом ВЧ поле (в отличие от нерезонансного случая, когда для значительного изменения траектории электрона нужны сильные

поля). Поэтому можно считать, что mz& T >> A%zT . При таком условии в первом

приближении (23.7) дает mz&T ≈ const .

Последнее приводит к далеко не очевидному заранее выводу: действие продольных магнитной и электрической сил в поле Emn0 при условии гироре-

зонанса взаимно компенсируется. Отбор энергии электрона в рассматриваемой схеме происходит весьма своеобразно: поперечная скорость ВЧ магнитным полем преобразуется в продольную, причем так, что торможение электрона продольным электрическим полем компенсируется. Более того, с уменьшением энергии электрона (с уменьшением m ) z& возрастает, посколь-

ку mz&T ≈ const . Отсюда, в частности, приходим к выводу, что прямолинейный на входе в поле Emn0 пучок при условии гирорезонанса может только от-

бирать энергию от поля, но не отдавать ее. Это не означает, конечно, что обратная ситуация невозможна. Более подробный анализ показывает, что отда-

ча энергии (и довольно эффективная) возможна, если B0 в 2—3 раза превышает синхронное значение, т.е. отбор энергии от прямолинейного электронного пучка возможен в несинхронном режиме под действием сильных Emn0 -

полей. Это явление представляет интерес в случае мощных релятивистских электронных потоков, когда отдаваемая потоком энергия достаточна для поддержания в нагруженном резонаторе напряженности поля необходимой амплитуды.

314