ГЛАВА XII
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ СТОРОННИМИ ТОКАМИ
12.1 Постановка задачи
Пусть задан конечный объем V, ограниченный замкнутой проводящей поверхностью S, характеризуемой комплексным поверхностным импедансом
W&σ . В объеме V заданы гармонические сторонние источники с плотностью
стороннего электрического тока δr&e = δre0 (r)e jω t и магнитного тока
δr&m = δrm0 (r)e jω t (рис. 12.1)
Рис. 12.1.
Будем считать, что потерь в среде, заполняющей резонатор (объем V), нет, среда однородна и изотропна, а также недисперсна. Эти условия можно записать в виде
Imεa = Imµa = 0, εa , µa ≠ f (r ), εa , µa ≠ f (ω). |
(12.1) |
Задача возбуждения резонатора может быть поставлена в виде следующей краевой задачи для неоднородных уравнений Максвелла
rot |
|
Hr& = jωεa Er& +δr&e ; |
|
(12.2) |
|||||
rot |
Er& |
= − jωµa Hr |
−δ& |
m. |
|||||
|
|||||||||
r |
|
|
|
r |
|
|
|||
[nr,E] |
S |
= −W [nr[nr |
,H ]] |
|
S |
(12.3) |
|||
|
|
σ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение краевой задачи (12.2), (12.3) естественно искать в виде разложения по собственным колебаниям того же резонатора без потерь (собственным функциям). Коэффициенты разложения можно определить на основе проекционного метода Б.Г. Галеркина.
12.2 Свойства собственных функций резонатора
205
Собственные функции резонатора без потерь являются решениями однородной краевой задачи для уравнений Максвелла
rot Hr& k |
= jωk εa Er&k |
; |
(12.4) |
||
r |
r |
|
|||
rot E&k = − jωk µa H&k . |
|
||||
r |
|
|
|
||
[nr,E&k ] |
|
|
S = 0 . |
|
(12.5) |
|
|
||||
Докажем некоторые свойства решений краевой задачи (12.4), (12.5).
1. Собственные значения (собственные частоты) ωk - вещественные (ввиду граничного условия (12.5) задача - самосопряженная).
Применяя операцию rot ко второму уравнению (12.4) и используя первое уравнение, имеем
rot rot Er&k = Kk2 Er&k , |
Kk =ωk2εa µa . |
(12.6) |
||
|
|
|
&* |
: |
Умножим обе части (12.6) скалярно на Ek |
||||
r |
r |
r |
r |
|
E& |
*k rot rot Ek = kk2 Ek E&*k . |
(12.7) |
||
Для преобразованной левой части (12.7) используем тождество
Er*k rot rot Erk = div[rot Er&k ,Er*k ]+ rot Erk rot Er*k .
Затем проинтегрируем обе части преобразованного уравнения (12.7) по vp и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для первого члена слева. В результате получим
r r |
]n dS + |
r |
2 dVp = Kk2 |
r |
2 dVp . |
∫[rot Ek ,E*k |
∫ rot Ek |
∫ Ek |
|||
S |
|
Vp |
|
Vp |
|
В соответствии с граничным условием (12.5) для Ek* первый член оказывается нулевым, в результате чего имеем
|
∫ |
|
rot Er& |
|
2 dV |
||
|
|
|
|||||
Kk2 = ωk2εa µa = |
Vp |
|
|
|
|
|
(12.8) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Er&k |
|
|
|
||
|
∫ |
|
2 dV |
||||
Vp
206
Поскольку в (12.8) правая часть вещественная и положительная, при действительных и положительных εа, µа (что оговорено выше) получаем искомый результат: ωk - вещественны.
2. Собственные функции ортогональны в Vp с границей S. Рассмотрим наряду с системой (12.4) для Ek, Hk комплексно сопряжен-
ную систему для собственных функций Eq* , Hq* :
rot Hr&*q |
= − jωqεa Еr&*q |
; |
(12.9) |
r |
r |
|
|
rot E&*q |
= jωq µa H&*q . |
|
|
Умножим обе части второго уравнения (12.9) скалярно на Hk, а первое уравнение (12.4) - на - Eq* и сложим получившееся
Hr& k rot Er&*q − Er&*q rot Hr&k = div[Hr& k ,Er&*q ]= jωq µa Hr&*q Hr& k − jωqεa Er&k Er&*q . (12.10)
Проинтегрируем (12.10) по Vp с границей S. Применяя в левой части теорему Остроградского-Гаусса и граничное условие для Eq* на S (12.5), име-
ем |
r r |
r r |
|
|
|
||
|
ωq ∫µa H& k H&*q dV =ωk |
∫εa Ek E*q dV . |
(12.11) |
|
Vp |
Vp |
|
Аналогично, используя второе уравнение (12.4) и первое из (12.9), не трудно получить
ωk |
r |
r |
*q dV =ωq |
∫εa Ek E*q dV . |
|
|||||||||||
∫µa H k H |
(12.12) |
|||||||||||||||
Vp |
|
|
|
|
Vp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из системы (12.11), (12.12) находим |
||||||||||||||||
(ω2 |
−ω2 )h |
|
|
= 0, (ω2 |
−ω2 )e |
kq |
= 0, |
(12.13) |
||||||||
k |
q |
|
kq |
|
k |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||
h |
= ∫µ |
|
r |
|
|
r |
|
|
= |
∫ε |
|
E |
|
E* dV . |
||
a |
H |
k |
H* dV , e |
kq |
a |
k |
||||||||||
kq |
Vp |
|
q |
|
|
Vp |
|
|
q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При невырождении собственных колебаний идеального резонатора, т.е. при ωq≠ ωk, из (12.13) следует свойство ортогональности собственных функций
hkq = ekq =δkq Nk , |
(12.14) |
207