2. Элементы Векторной алгебры

2.1. Векторные и скалярные величиы

Величины бывают скалярные и векторные.

Скалярные величины задаются только их численным значением. К скалярным величинам относят такие величины как: температура, работа, длина, площадь, объем и т. д. Скаляр – это число.

Векторные величины характеризуются как численным значением (длиной), так и направлением в пространстве. К векторным величинам относят: силу, скорость, ускорение и т.д.

Дадим ряд определений.

Определение: Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий начало и конец.

Вектор обозначается = , где А – начало или точка приложения вектора, В - конец вектора. Вектор показывается отрезком со стрелкой на конце:

B

A

Вектор характеризуется длиной и направлением в пространстве.

Определение: Длина вектора называется модулем вектора и обозначается: .

Определение: Векторы и называются коллинеарными ( ), если они лежат на одной или параллельных прямых.

О пределение: Векторы и называются равными ( = ), если выполняются три условия:

1. они коллинеарны;

2. имеют равные модули; =

3. сонаправлены.

Определение: Векторы и называются противоположными, если выполняются три условия:

1. о ни коллинеарны ;

2. имеют равные модули;

3. противоположно направлены.

Определение: Векторы называются свободными, если их можно перемещать в пространстве параллельно самим себе.

Далее рассматриваем свободные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Компланарные векторы всегда можно свести в одну плоскость.

Определение: Векторы называются ортогональными, если они взаимно перпендикулярны друг другу.

2.2. Геометрические методы линейных операций над векторами

К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение их на число (на скаляр). Линейные операции над векторами могут выполняться геометрическими методами и аналитическим способом с помощью координат векторов.

Рассмотрим геометрические методы.

Сложение векторов

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала первого в конец второго , при условии, что второй вектор приложен к концу первого.

Метод сложения векторов, данный в определении называется методом треугольника.

Сложения векторов можно выполнять также методом параллелограмма, в котором слагаемые векторы прикладывают в одну точку. По этим векторам, как по сторонам строят параллелограмм и их суммой является вектор, идущий по диагонали из общей точки в противоположную вершину.

_{При сложении нескольких векторов используется метод многоугольника, который заключается в последовательном применении метода треугольника и сумма векторов представляет собой вектор, идущий из начала первого в конец последнего, когда каждый следующий вектор прикладывается к концу} предыдущего. Например, сумма представляет собой вектор, идущий из начала в конец вектора _.

Свойства суммы векторов:

1. Переместительное свойство: ;

2. Сочетательное свойство: .