9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую и вторую производные у^/ и у^// .

В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка можно представить в виде: F(x,y,y^/,y^//)=0 (1).

Если разрешить его относительно второй производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 2-го порядка.

Решение данного уравнения находится двухкратным интегрированием с появлением двух произвольных констант С₁ и С₂.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется искомая функция у=у(х,С₁,С₂), которая при любых значениях произвольных констант С₁, С₂ обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С₁₀,С₂₀), которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С₁=С₁₀ и С₂=С₂₀.

9.2.1. ГеометричесКий смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой двухпараметрическое семейство интегральных кривых у=у(х,С₁,С₂). Причем через каждую заданную точку М₀(х₀;у₀) проходит целый пучёк интегральных кривых.

Ч астное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую у=у(х₀,С₁₀,С₂₀) с заданными значениями произвольных констант С₁=С₁₀ и С₂=С₂₀.

Для того, чтобы найти частное решение в виде единственной интегральной кривой, проходящую через заданную точку М₀ с координатами х=х₀ и у=у₀, необходимо задать значение производной, которая определяет угловой коэффициент касательной в заданной точке у^/=y^/₀=k_k=tgα₀. Координаты х=х₀; у=у₀ и значение производной у^/=y^/₀ в заданной точке М₀ называются начальными условиями.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, сводится к нахождению конкретных значений произвольных констант С₁=С₁₀ и С₂=С₂₀ из системы уравнений , получаемой подстановкой начальных условий в общее решение.

Таким образом, частное решением получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С₁=С₁₀ и С₂=С₂₀, для нахождения которых используют два начальных условия:

Первое начальное условие определяет точку М₀(х₀,у₀), через которую пройдет интегральная кривая, а второе условие определяет угол наклона касательной y^/₀=k_k=tgα₀ к искомой интегральной кривой.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

При решении задачи Коши используют теорему Коши о существовании и единственности решения.

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области Д, то в любой ее точке существует и причем единственное частное решение у = у(х,С₁₀,С₂₀), удовлетворяющее начальным условиям: .

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

9.2.2. Дифференциальные уравнения второГо порядка, допускающие понижение порядка

К простейшим дифференциальным уравнениям 2-го порядка, которые сводятся к уравнениям 1-го порядка относят уравнения вида:

из этих уравнений можно выделить две группы:

к первой группе относятся уравнения с 1) по 4), которые не содержат искомой функции у в правой части.

Для понижения порядка этих уравнений используют стандартную подстановку:

где V(x) - вспомогательная функция.

Ко второй группе относятся уравнения 5) и 6), которые в правой части не содержат аргумент х.

Для понижения порядка используют стандартную подстановку . Продифференцировав ее и подставив в уравнения 5) или 6) сведем их к уравнениям 1-го порядка.

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, на примерах.

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение:

Правая часть уравнения не содержит у. Уравнение относится к первой группе. Понизим порядок уравнения стандартной подстановкой: Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение:

Ответ:

Пример 2: Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение: Приведем уравнение, поделив его на 2у: . Правая часть не содержит х. Понизим порядок уравнения подстановкой: . Найдем:

Ответ: - общее решение.

Пример 3: Найти частное решение дифференциального уравнения: , удовлетворяющего начальным условиям: у(0)=2; у^/(0)=3.

Решение:

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Правая часть уравнения не содержит у. Уравнение относится к первой группе. Понизим порядок уравнения стандартной подстановкой: Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение: . Проинтегрируем: . Так как

Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Подставим начальные условия и найдем значения констант:

.

Подставим значения найденных констант в общее решение и получим частное решение дифференциального уравнения: .

Ответ: - частное решение.