4.7.2.Признак монотонности функций

Определение: Функция f(x) называется монотонной на интервале, если она на нем или только возрастает, или только убывает.

Е сли функция монотонно возрастает на интервале, то большему значению аргумента х₂x₁, соответствует большее значение функции: f(x₂)f(x₁).

Если функция монотонно убывает на интервале, то большему значению аргумента х₂x₁, соответствует меньшее значение функции: f(x₂)f(x₁).

На рисунке на интервале функция монотонно возрастает , а на интервале монотонно убывает.

Введем обозначения х = х₂ - х₁ - приращение аргумента и приращение функции: у = f(x₂) - f(x₁). Для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеют одинаковые знаки, а следовательно, отношение 0. Для убывающей функции приращения аргумента и функции имеют противоположные знаки, а следовательно, отношение  0. Так как первая производная функции равна , то по знаку производной можно определять участки возрастания и убывания функции.

Необходимый и достаточный признак монотонности функции

Т еорема. Если функция у=f(x) дифференцируема на интервале и ее производная положительна у, то функция на этом интервале монотонно возрастает, а если производная отрицательна у0, то функция на интервале монотонно убывает.

Свяжем это с геометрическим смыслом первой производной, которая определяет угловой коэффициент касательной. Для возрастающей функции угол наклона касательной острый 0⁰90⁰, а следовательно, у^/=tg0. Для убывающей функции этот угол тупой 90⁰180⁰, у^/=tg0.

Отметим, что если в точках первая производная равна нулю или не существует, то в этих точках функция не возрастает и не убывает. Здесь возможны:

• точки перегиба, в которых выпуклость графика функции сменяется вогнутостью или наоборот;

• точки локального экстремума, в которых участок возрастания функции сменяется участком убывания или наоборот.

Определение: Точки, в которых первая производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками I рода.

4.7.3. Локальные экстремумы функций

О пределение: Точка х₀ называется точкой локального максимума (или минимума) функции, если в некоторой окрестности точки х₀ функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, т.е. для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется условие f(x) f(x₀) (или f(x) f(x₀)).

Точки локального максимума или минимума объединены общим названием - точками локального экстремума функции.

Отметим, что в точках локального экстремума функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения лишь в некоторой локальной области. Возможны случаи, когда по значению у_max у_min .

Необходимый признак существования локального экстремума функции

Теорема. Если непрерывная функция у = f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум, то в этой точке первая производная либо равна нулю, либо не существует, т.е. локальный экстремум имеет место в критических точках I рода.

В точках локального экстремума либо касательная параллельна оси 0х , либо имеются две касательные (см. рисунок). Отметим, что критические точки являются необходимым, но недостаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум имеет место только в критических точках I рода, но не во всех критических точках имеет место локальный экстремум.

Например: кубическая парабола у = х³, имеет критическую точка х₀=0, в которой производная у^/(0)=0, но критическая точка х₀=0 не является точкой экстремума, а в ней имеет место точка перегиба (см. ниже).