9.2.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка представляют линейный многочлен вида: - это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде.

Если а₀(х) 0, то поделив на этот коэффициент, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в приведенном виде:

,где

Если правая часть f(x)=0, то уравнение - называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).

Если правая часть f(x) 0, то уравнение - называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

ЛинейныЕ однородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами

ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: , где p, q – постоянные коэффициенты.

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ:

Если два частных решения ЛОДУ: у₁(х) и у₂(х) являются линейно независи-

мыми, т.е. их отношение , то они образуют фундаментальную систему и общее решение ЛОДУ будет их линейной комбинацией: , где С₁, С₂ – произвольные константы.

Теорема об общем решении ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

Общее решение ЛОДУ: находится путем решения его характеристического уравнения: k²+pk+q=0 и в зависимости от корней этого уравнения общее решение представлено следующими функциями:

1. , если дискриминант характеристического уравнения D > 0 и корни действительные и разные k₁ k₂;

2. , если дискриминант D = 0 и корни действительные и равные (кратные) k₁=k₂=k;

3. , если D < 0 и корни мнимые, комплексно-сопряженные k_1,2 = a ± bi, где a - действительная часть; b - мнимая часть; - мнимая единица.

Действительно ищем решение ЛОДУ в виде .

Продифференцируем дважды и подставим в ЛОДУ:

или . Так как , то получаем характеристическое уравнение ЛОДУ .

В зависимости от корней характеристического уравнения выбирают два линейно независимых частных решения:

1. при k₁ k₂;

2. при k₁=k₂=k;

3. при k_1,2 =a ± bi.

Линейная комбинация этих линейно-независимых решений определяет общее решение ЛОДУ второго порядка.

Следовательно, решение ЛОДУ сводится к решению его характеристического уравнения.

Задание: Найти общее решение дифференциальных уравнений:

Пример 1: .

Ищем решение в виде: . Составим характеристическое уравнение: . Решим это уравнение, вычислив дискриминант D=25-24=1>0. Найдем корни: .

Имеем два частных, линейно-независимых решения: , т.к. .

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация: .

Пример 2: .

Составим характеристическое уравнение: . Его дискриминант: D=4-4=0, а корни кратные k₁=k₂= .

Для этого случая два частных, линейно-независимых решения будут: , т.к. .

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация: .

Пример 3: .

Составим характеристическое уравнение: k² +4k+8 = 0.

Его дискриминант: D=16-32=-16<0, а корни мнимые комплексно-сопряженные: = a ± bi  a =-2; b =2.

Для этого случая два частных, линейно-независимых решения будут:

, т.к. .

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация: .

ЛинейныЕ нЕоднородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (лнду) второго порядка с постоянными коэффициентами

ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: , где правая часть f(x) 0.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ ( ) и любого частного решения данного ЛНДУ, т.е. , где - общее решение ЛОДУ; - частное решение ЛНДУ.

Другими словами, для нахождения общего решения ЛНДУ необходимо предварительно решить ЛОДУ путем нахождения корней его характеристического уравнения и найти частное решение ЛНДУ.

Для отыскания частного решения ЛНДУ используется следующая Теорема.

Теорема об отыскании частного решения ЛНДУ

Частное решение уравнения: находится по виду функции f(x) правой части:

1. Если правая часть представляет собой многочлен:

f(x)=P_n(x) = a₀+ a₁x+... +a_nxⁿ , то частное решение имеет вид:

- многочлен с неизвестными коэффициен-

тами, которые определяются путем подстановки в уравнение и приравнивания коэффициентов правой и левой части при одинаковых степенях х.

Степень r=0, 1, 2 - определяется числом корней характеристического уравнения равных нулю.

2. Если правая часть f(x)=M , то частное решение ищется в виде: , где N - неизвестный коэффициент, который определяется при подстановке в уравнение, r = 0, 1, 2 - число корней характеристического уравнения, совпадающего с числом .

3. Если правая часть , гдеM и N - действительные числа, то частное решение имеет вид: , где А и В - неизвестные коэффициенты, которые определяются при подстановке в уравнение, r = 0, 1 - число корней характеристического уравнения , совпадающих с .

Таблица для отыскания общего решения ЛОДУ

ЛОДУ II порядка:
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0
Корни характеристического уравнения	Вид общего решения ЛОДУ
k1 k2, действительные разные
k1 = k2 = k, действительные равные
k1,2 = a ± bi, комплексно-сопряженные

Таблица для отыскания частного решения ЛНДУ

ЛНДУ II порядка:
ЛОДУ II порядка:
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0
Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1. k1 0, k2 0	=
2. k1 = 0, k2 0
3. k1 = k2 =0
1. k1 a, k2 a
2. k1 = a, k2 a
3. k1 = a = k2
1. k1,2 ± bi
2. k1,2 = ± bi

Задание: Найти общее решение дифференциальных уравнений:

Пример 1: - это ЛНДУ II порядка.

Решение: Общее решение ищем в виде: .

1. Решаем ЛОДУ: . Составим его характеристическое уравнение: .

корни характеристического уравнения разные. Тогда общее решение ЛОДУ будет: .

Найдем частное решение ЛНДУ по виду правой части: . Так как k₁=0, то частное решение ЛНДУ ищем в виде: ^{, где А}₀^{, А}₁^{, А}₂ ^{–неизвестные коэффициенты.}

Продифференцируем два раза: и подставим в ЛНДУ:

Приравниваем коэффициенты правой и левой части при равных степенях переменной х:

.

Тогда частное решение ЛНДУ будет: .

Следовательно, общее решение ЛНДУ: _.

_{Ответ : - общее решение ЛНДУ.}

Пример 2. - это ЛНДУ II порядка.

Решение: Общее решение ищем в виде: .

1. Решаем ЛОДУ: .

Составим характеристическое уравнение: k²-3k+ 2=0. Его дискриминант D=9-4·2=1>0; k_1,2 = ; k₁ =2; k₂ =1. корни характеристического уравнения разные. Тогда общее решение ЛОДУ будет: .

2. Находим частное решение ЛНДУ по виду правой части: f(x)=0·cosx+2sinx, где .Частное решение представим в виде: , где А и В –неизвестные коэффициенты.

Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение:

.

Найдем неизвестные А и В, приравняв коэффициенты правой и левой части при косинусе и синусе: .

Тогда частное решение ЛНДУ будет: , а его общее Решение:

Ответ : - общее решение ЛНДУ.

если правая часть ЛНДУ представляет сумму двух функций: f(x)=f₁(x)+f₂(x), для каждой из которых определен вид частного решения , то для этого случая справедлива Теорема о наложении решения:

Теорема о наложении решения:

Если является частным решением уравнения _{, а -} частным решением уравнения , то функция является частным решением уравнения _.

Другими словами, если правая часть является суммой функций, то предварительно находят частные решения для каждого слагаемого, а затем их складывают.