1.2. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

(3),

где a_ij- коэффициенты при неизвестных х, у и z, индексы: i = 1,2,3 - определяют номер уравнения и j = 1,2,3 - номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (3) называется тройка чисел (х₀,у₀,z₀), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

Геометрический смысл решения системы уравнений с тремя неизвестными

Геометрически система уравнений (3) задает 3 плоскости в пространстве.

При этом возможны 3 случая:

1) плоскости пересекаются в единой точке с координатами (x_0,y_0,z₀), система в этом случае имеет единственное решение - она совместна и определена;

2) плоскости совпадают друг с другом - система имеет бесконечное множество решений, т.е. она совместна, но не определена;

3) плоскости параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют - система несовместна и решений не имеет.

Данную систему (3) можно решить методом Крамера с помощью определителей третьего порядка.

Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка. Матрицы и определители третьего порядка

Определение: Квадратной матрицей 3 -го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 3-х строк и 3-х столбцов и обозначается:

А = ,

где а_i,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2, 3 - определяет номер; строки, j = 1, 2, 3 - номер столбца. Элементы а₁₁а₂₂а₃₃ образуют главную диагональ матрицы, а элементы а₁₃а₂₂а₃₁ образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое вычисляется методом диагоналей – как разность суммы произведений элементов главных диагоналей и суммы произведений элементов побочных диагоналей.

Определитель 3-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:

Существует другой, универсальный способ вычисления определителей 3-го порядка, который называется методом разложения и реализуется по следующей схеме:

Данная формула называется формулой разложения по элементам 1-ой строки. Эта формула позволяет вычисление определителя 3-го порядка свести к вычислению определителей 2-го порядка.

Для раскрытия сущности этой формулы введем два понятия - минора и алгебраического дополнения.

Определение: Минором М_ij элемента a_ij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, полученный путем вычеркивания i - строки и j - столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Так, для a₁₁ соответствует минор M₁₁ = , для a₁₂ - минор M₁₂= , а для а₁₃- минор M₁₃ = .

Определение: Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij называется его минор М_ij, взятый со знаком +, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная и со знаком - , если эта сумма нечетная, т.е.: A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Например: A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = M₁₁; A₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = -M₁₂; A₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = M_13.

Схема чередования знаков миноров для соответствующих элементов матрицы: .

Исходя из этих понятий, формулу разложения по элементам 1-ой строки при вычислении определителя 3-го порядка можно записать так: .

Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу и равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Этот способ вычисления определителей называется методом разложения. Он универсален и применим для определителей любого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

Систему: (3) путем последовательного исключения неизвестных х, у и z можно привести к равносильной (эквивалентной) системе (4), имеющей одинаковые решения с исходной системой (3): (4), где - определитель системы, , , - определители неизвестных x, y, z, которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

При решении системы (4) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

Если определитель системы , то, поделив обе части уравнений системы на , найдем неизвестные по формулам Крамера:

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Три плоскости пересекаются в одной точке с координатами (х₀, у₀, z₀).

1. Если определитель системы и все определители неизвестных , то имеем и при любых значениях x, y и z имеем верное тождество.

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Плоскости совпадают друг с другом.

2. Если определитель системы , а определители неизвестных могут быть или или , то имеем: , что невозможно при любых значениях х и у.

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Плоскости параллельны друг другу и общих точек не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

1. 

Решение:

1) Вычислим определители системы и неизвестных D, D_х, D_у и D_z.

а) методом разложения по 1-ой строке:

б) методом диагоналей:

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х₀ ; у₀ = z₀ =

Проверка:  (верно).

Ответ: (х₀=0, у₀= -1, z₀=2)-точка пересечения плоскостей.