5.1. Предел и Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z=f(x;y) определена в окрестности некоторой точки М₀(х₀;у₀).

Рассмотрим последовательность точек на плоскости: {М_n(x_n;y_n)}=М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂), …М_n(x_n;y_n). Говорят, что эта последовательность сходится к точке М₀(х₀;у₀), если x_nх₀ и y_nу₀ . При этом значения функции образуют числовую последовательность {z_n=f(x_n;y_n)}=f(x₁;y₁),f(x₂;y₂),…f(x_n;y_n).

Определение: Число А называется пределом функции z=f(x;y) в точке М₀(х₀;у₀) при x_nх₀ и y_nу₀ , если для любой последовательности точек {М_n(x_n;y_n)} сходящейся к точке М₀(х₀;у₀), соответствующая последовательность значений функции {f(x_n;y_n)} стремится к числу А_, т.е. {f(x_n;y_n)→A.

Предел в точке обозначается: .

Введем понятие непрерывности функции в точке.

Определение: Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если выполняются два условия:

1. Функция определена в этой точке, т.е. существует частное значение функции z₀=f(x₀,y₀);

2. Существует конечный предел функции в этой точке, который равен частному значению, т.е. .

Определение: Точки, в которых нарушено хотя бы одно из этих условий непрерывности, называются точками разрыва.

Точки разрыва бывают I и II рода - точки скачка и точки бесконечного разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в каждой ее точке.

Пример. Исследовать функцию на непрерывность z= .

Решение: Функция z= неопределена при условии: x²-y=0. Следовательно, при y=x² нарушено 1-е условие. Функция терпит бесконечный разрыв II рода в точках параболы y = x², т.к. .

Ответ: Функция непрерывна всюду, кроме точек параболы y=x², где она терпит бесконечный разрыв II рода.

5.2. Частные производные функции двух переменных

Пусть функция z = f(x; y) непрерывна в некоторой области D. Если переменной x дать приращение Δx, оставляя при этом переменную y неизменной, то функция получит частное приращение Δ_xZ = f(x + Δx, y) - f(x, y).

Определение: Частной производной функции z = f(x; y) по переменной x называют предел отношения частного приращения функции Δ_xZ к приращению аргумента Δx при Δx →0.

_{Частная производная обозначается} .

Аналогично вводятся понятия: частного приращения функции по переменной y при неизменном значении x: , а также частной производной:

Частные производные определяют скорости изменения функции по направлениям x или y и численно равны угловым коэффициентам касательных к этим направлениям.

Определение: Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой на некоторой области D, если в каждой точке этой области существуют её конечные частные производные f^/_x и f^/_y.

Вычисление частных производных осуществляется обычным способом, используя таблицу производных и основные правила дифференцирования. При этом полагают, что изменяется лишь одна переменная, другая остается постоянной.

Пример. Найти частные производные функции :z = x²y³ – sinx + e^y.

Решение: ;

_.

5.3. Полный и часные дифференциаЛы функции двух переменных

Если обоим аргументам х и у дать одновременно приращения Δx и Δy, то функция z = f(x; y) получит полное приращение: ΔZ = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y).

Определение: Полным дифференциалом функции z=f(x;y) называется главная часть полного приращения ΔZ, линейная относительно приращений аргументов Δx и Δy, которая вычисляется по формуле:

,

где -частные производные; -дифференциалы аргументов, совпадающие с их приращениями.

Определение: Частным дифференциалом называется произведение частной производной на дифференциал аргумента:

Видим, что полный дифференциал функции двух переменных равен сумме частных дифференциалов:

отметим, что при малых приращениях аргументов Δx и Δy полное приращение функции можно заменить его главной частью - полным дифференциалом т.е. ΔZ ≈ dZ или

.

Эту формулу можно записать в виде: . Данная формула широко используется для оценки значения функции в точке М(x+∆x, y+∆y), если известно значение функции в точке М_о(x,y).