1. Элементы линейной алгебры

1. Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

Система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(1),

где x, у - неизвестные, а_i,j - коэффициенты при неизвестных х,у; индексы: i=1,2- определяет номер уравнения, j=1,2 - определяет номер неизвестного; b₁, b₂ - свободные члены уравнения.

Дадим ряд определений.

Определение: Решением системы линейных уравнений (1) называется пара чисел (х₀,у₀), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Определение: Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет несколько решений.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Геометрически система уравнений с двумя неизвестными задает две прямые на плоскости.

При этом возможны 3 случая:

1) прямые пересекаются в одной, единственной точке – в этом случае система имеет единственное решение, она совместна и определена;

2) прямые совпадают, имеется бесконечное множество совместных точек - в этом случае система совместна, но не определена;

3) прямые параллельны и общих точек пересечения нет - в этом случае система несовместна и решений не имеет.

Введем понятие матрицы и определителя второго порядка.

Матрицы и определители второго порядка

Определение: Квадратной матрицей 2-го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 2-х строк и 2-х столбцов и обозначается:

А = ,

где а_i,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2 - определяет номер строки, j = 1, 2 - номер столбца.

Элементы а₁₁а₂₂ образуют главную диагональ матрицы, а элементы а₁₂а₂₁ образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 2-го порядка называется число, которое определяется по методу диагоналей - как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель 2-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме: .

Пример. Вычислить определитель матрицы A =

Решение: = 3(-6) - (-1) 2 = -16.

Основные свойства определителей

1.Определитель не изменится, если его строки и столбцы поменять местами: .

2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный: .

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю:

.

4. Определитель равен нулю, если все элементы какой-нибудь строки или столбца равны нулю: .

5.Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя: .

6. Если строка или столбец определителя состоит из двух слагаемых или разности, то определитель можно разложить на два определителя:

.

7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки или столбца прибавить или отнять соответствующие элементы другой строки или

столбца, умноженные на одно и тоже число: .

Рассмотренные выше свойства определителей 2-го порядка распространяются на определители более высокого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера.

Систему (1) путем последовательного исключения неизвестных х и у приведем к равносильной (эквивалентной) системе (2), имеющей одинаковые решения с исходной системой (1).

Действительно, если умножить 1-е уравнение системы (1) на коэффициент а₂₂, а 2-е уравнение на коэффициент а₁₂ и вычтем из 1-го, исключим тем самым неизвестную у. Аналогичным образом исключив из уравнений неизвестную х, получим равносильную системы (2): (2)

Перепишем эту систему через определители 2-го порядка в виде:

(2),

где - называется определителем системы;

- называется определителем неизвестного х;

- называется определителем неизвестного у.

Определители неизвестных получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

При решении системы (2) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

1. Если определитель системы (2) , то, поделив обе части уравнений системы на , получим единственное решение, которое находится по формулам Крамера: .

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Прямые пересекаются в одной точке с координатами М(х_0, у₀).

2. Если определитель системы и определители неизвестных также = 0, то система (2) имеет вид: и при любых значениях х и у имеем верные числовые тождества.

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Прямые совпадают друг с другом.

3. Если определитель системы , а хотя бы один из определителей неизвестных или или , то система (2) имеет вид: , что невозможно при любых значениях х и у.

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Прямые параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:1) Вычислим определители системы и неизвестных , _х и _у.

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х₀ ; у₀ =

Проверка: (верно).

Ответ: (х₀=6, у₀=4) –координаты точки пересечения прямых.