Вычисление пределов

При вычислении пределов необходимо выделить случаи когда функция определена или неопределена в предельной точке.

Если функция определена в предельной точке х=х₀, то вычисление предела сводится к вычислению частного значения функции в этой точке путем подстановки в неё значения аргумента, т.е. .

Пример. .

Если функция неопределена в предельной точке х=х₀, то для характерных неопределенностей типа: имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей.

1. Неопределенность .

1. Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и его следствия, а также можно провести замену эквивалентных б.малых функций.

П ример. = sin² x=(sinx)²~x²; arctg3x~3x; (e^6x-1) ~6x =

= .

2. Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить и сократить сомножитель, стремящийся к 0.

Пример. .

2. Неопределенность раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены б.большой переменной х→ на новую б.малую переменную 0.

П ример. 0 при х→ = .

2. Неопределенности путем преобразования приводятся к неопределенностям вида: .

Примеры.

1) ;

2)

.

2. Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Пример.

= 2x=u, х=1/2u; х 0;u0 = =

= .

4.3. Непрерывность функции и точки разрыва

Определение: Функция у=f(х) называется непрерывной в точке х=х₀, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке х₀, т.е. существует частное значение функции f(x₀);

2. Существуют равные правый и левый пределы функции в точке х₀;

3. Эти пределы равны частному значению функции в этой точке, т.е.

Е сли в точке х₀ не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то точка х₀ называется точкой разрыва. Различают два вида разрывов: разрывы I и II рода.

К точкам разрыва I рода относят точки скачка функции, когда существуют правый и левый пределы функции, но они не равны друг другу: . Величина h= называется величиной скачка.

К точкам разрыва II рода относят точки бесконечного разрыва, в которых предел функции равен бесконечности. Так, функция имеет точку бесконечного разрыва II рода в точке х₀=0, т.к. .

Отметим, что все элементарные функции и их комбинации непрерывны в области их определения.

4.4. Производная функции

Переходим к дифференциальному исчислению. Дифференциальное исчисление основывается на понятии производной функции.

Введем понятие производной функции. Пусть на некотором множестве D задана непрерывная функция у = f(х). Возьмем произвольную точку х из этого множества (хD) и дадим аргументу приращение х. Причем так, чтобы (х+ х)D При этом функция получит приращение: .

Определение: Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю .

Производная обозначается: .

Е сли функция у = f(x) имеет конечную производную в каждой точке множества D, то производная является также функцией от х. Название производной можно рассматривать как функцию, произведенную от исходной функции у = f(x).