93

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ

челябинский институт ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ

ВАЛЕЕВА З.С., НЕУПОКОЕВ В.А., ВАЛЕЕВ Г.А.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЧЕЛЯБИНСК

2006

УДК 510(022)(075)

В152

Валеева З.С., Неупокоев В.А., Валеев Г.А.

Высшая математика. Учебное пособие. ЧИПС

Челябинск 2006.103с.

Пособие включает элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и основы математического анализа (дифференцирование функций и их исследование), функцию нескольких переменных, неопределенные, определенные и несобственные интегралы, а также дифференциальные уравнения.

Предназначено для студентов очной, заочной форм обучения.

Рецензенты: В.Н. Ни, доктор физико - математических наук, профессор, академик РАЕН;

Г.В. Савельев, кандидат технических наук, профессор

Одобрено учебно – методическим советом Челябинского института путей

сообщения.

@ Филиал Уральского государственного университета путей сообщения.

Челябинский институт путей сообщения,2006

Введение

Курс «Высшая математика» является фундаментальным курсом необходимым как при изучении курсов математического цикла, так и при изучении специальных курсов основ железнодорожного транспорта, изучающих конкретные задачи прикладного характера, а также экономики, финансов и бизнеса.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов дневного, а также заочного обучения при их самостоятельном освоении курса “Высшая математика”.

Целью курса является формирование у студентов математического аппарата необходимого для решения теоретических и практических задач и умения самостоятельно изучать литературу по математическому анализу.

Задачи дисциплины:

1. Получение теоретических знаний по ряду разделов математики.

2. Практическое освоение приемов и методов решения математических задач, имеющих применение при рассмотрении вопросов в других дисциплинах учебного плана.

Краткая характеристика дисциплины

Курс включает элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и основы математического анализа (дифференцирование функций и их исследование), функцию нескольких переменных, неопределенные, определенные и несобственные интегралы, а также дифференциальные уравнения.

Курс ориентирован на приобретение теоретических знаний и практических навыков в решении задач по математике.

Учебная программа по высшей математике ведется в форме лекций, практических занятий и самостоятельной работы студентов. Теоретические положения предмета даются на лекциях.

На практических занятиях студенты осваивают приемы решения задач. Каждое практическое занятие способствует развитию активного применения полученных на лекциях теоретических знаний. Это позволит эффективно закреплять теоретические знания и использовать их в практической работе и исследовательской деятельности студентов.

При изучении курса предусмотрена самостоятельная работа, которая включает: изучение основной и дополнительной литературы, учебных пособий, конспектов лекций и практических занятий, а также выполнение домашних заданий с решением примеров и задач по каждому разделу изучаемого курса.

Проверка знаний осуществляется в виде проверки выполнения домашних заданий, проведения контрольных работ, а также в ходе экзаменов, на которых определяется итоговый уровень знаний студентов по пройденным разделам курса.

Требования к экзаменам. К экзаменам допускаются студенты, отработавшие на практических занятиях или самостоятельно (для студентов заочного обучения) основные вопросы учебных тем программы и получившие положительные оценки по контрольным работам.

При подготовке к экзаменам студент должен:

1. Освоить основные понятия и определения линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа; функции нескольких переменных, неопределенных, определенных и несобственных интегралов, а также дифференциальных уравнений

2. Научиться решать математические задачи по пройденным темам учебной программы и подтвердить свое умение самостоятельным их решением в присутствии преподавателя.

Студент должен знать:

1. Элементы линейной алгебры: линейные уравнения, системы линейных уравнений, матрицы и определители, их свойства и действия над ними, методы решения систем линейных уравнений.

2. Основные понятия векторной алгебры: векторы, проекции векторов на координатные оси, представления векторов в координатной форме, линейные операции над векторами геометрически и аналитически с помощью координат, скалярное и векторное произведения векторов и их свойства.

3. Основные понятия аналитической геометрии: координаты точек, координатная форма представления линий и поверхностей с помощью алгебраических уравнений, формы записи уравнений прямых линий и линий второго порядка на плоскости, а также уравнений прямой и плоскости в пространстве.

4. Основные понятия математического анализа: функция, аргумент, ее область определения, пределы функции в точке и на бесконечности, непрерывность функции, точки разрыва, производная функции, ее физический и геометрический смысл, основные правила дифференцирования, основные теоремы дифференциального исчисления, исследование функций и построение их графика.

5. Определение функции двух переменных. Понятие частных производных и способы нахождения локального экстремума и наибольшего значения функции двух переменных.

6. Определения первообразной, неопределенного, определенного и несобственного интегралов. Их основные свойства. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки или замены переменной, интегрирование по частям.

7. Формулу Ньютона-Лейбница. Геометрические и физические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, определение работы переменной силы на прямолинейном отрезке.

8. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задачу и теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.

9. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения.

10. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, его общее и частное решения. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Студент должен уметь:

1. Вычислять определители матриц, выполнять различные действия с матрицами, решать системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса и матричным методом с помощью обратных матриц.

2. Выполнять линейные операции над векторами (находить сумму, разность векторов, произведение вектора на скаляр) как геометрическим построением, так и аналитически с помощью их координат, находить скалярное и векторное произведения векторов.

3. Составлять уравнения прямых линий и преобразовывать эти уравнения из одного вида в другой; находить точки пересечения линий, заданных уравнениями; определять параллельность и перпендикулярность прямых, а также находить угол между ними. Строить линии второго порядка – окружность, эллипс, параболу, гиперболу. Составлять уравнения прямых линий и плоскости в пространстве и строить их в прямоугольной системе координат.

4. Находить пределы функций в точке и на бесконечности. Вычислять производные различных функций; проводить исследование функций и строить их графики.

5. Выполнять дифференцирование функции двух переменных - находить частные производные и определять локальные экстремумы этих функций.

6. Вычислять неопределенные, определенные и несобственные интегралы. Решать геометрические и физические задачи по вычислению площади плоских фигур и определению работы переменной силы на прямолинейном отрезке.

7. Находить общее и частное решения основных видов дифференциальных уравнений 1-го порядка (уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных уравнений), а также дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений, допускающих понижения порядка, и линейных уравнений).