Метод универсальный, то есть применим всегда, но трудоёмкий, так как число решаемых уравнений равно числу неизвестных токов:

N_МЗК = N_I + N_II = (у-1)+[в-(у-1)-в_т] = в-в_т .

Порядок составления уравнений:

1. Выбираются положительные направления токов.

2. Составляется N_I = у – 1 уравнений по первому закону Кирхгофа для всех, кроме одного любого, узлов.

3. С помощью дерева графа цепи определяется количество независимых контуров [N_нез = в – (у – 1)] и производится их формирование (нумерация, выбор направления обхода). Примечание: ветви с известными токами (в_т) не включаются в дерево графа.

4. Для контуров, не содержащих источники тока, составляются уравнения по второму закону Кирхгофа [N_II = в – (у – 1) – в_т].

Н апример, для цепи рис. 1.22 система уравнений имеет вид (дерево графа включает в себя ветви 1-3-6):

i₁ + i₆ + j = 0,

-i₃ – i₄ – i₆ = 0,

-i₁ – i₂ – j = 0,

R₁·i₁ + R₃·i₃ – R₆·i₆ = e₁ – e₂,

-R₃·i₃ + R₄·i₄ = e₄.

Правильность решения проверяют составлением баланса мощностей (БМ) цепи или расчётом токов иным методом.

Метод узловых потенциалов (МУП) (задачи 1.27-1.34 /5/)

Способом подстановки уменьшим количество уравнений в системе, составленной по законам Кирхгофа для схемы рис. 1.22. Выразим токи ветвей через потенциалы узлов. При этом используем следующие положения:

- токи в ветвях зависят от разности потенциалов цепи, а не от их абсолютных значений;

- если один из узлов схемы заземлить, то есть принять его потенциал равным нулю (такой узел называется базисным), то токи в схеме не изменятся.

Пусть ₄ = 0, тогда (временно считаем R₂  0)

I₁ = ; I₃ = ; I₄ = ; I₆ = ; I₂ = .

Первые три уравнения системы, составленные по первому закону Кирхгофа принимают вид: g₁·(₁ – ₃ + Е₁) + g₆·(₁ – ₂) + j = 0,

g₃·₂ – g₄·(– ₂ + Е₄) – g₆·(₁ – ₂) = 0,

– g₁·(₁ – ₃ + Е₁) – g₂·(– ₃ + Е₂) – j = 0.

В конечном итоге после раскрытия скобок и приведения подобных получим следующую систему уравнений: g₁₁·₁ – g₁₂·₂ – g₁₃·₃ – … – g_1n·_n = J_1,

– g₂₁·₁ + g₂₂·₂ – g₂₃·₃ – … – g_2n·_n = J_2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– g_n1·₁ – g_n2·₂ – g_n3·₃ – … + g_nn·_n = J_n,

где g = 1/R – проводимость ветви,

g_nn – собственная проводимость n-ого узла – сумма проводимостей всех ветвей, примыкающих к n-ому узлу,

g_ij = g_ji – взаимная проводимость между i-ым и j-ым узлами – сумма проводимостей всех ветвей, находящихся непосредственно между i-ым и j-ым узлами.

Коэффициенты главной диагонали определителя системы положительные, все остальные – отрицательные.

J_q – алгебраическая сумма произведений ЭДС, примыкающих к рассматриваемому узлу, на проводимости ветвей, в которых ЭДС находятся, и токов источников тока, примыкающих к рассматриваемому узлу. «+» – если источник направлен к узлу, «-» – если от узла.

Итак, сущность метода состоит в том, что сначала рассчитываются потенциалы узлов, для чего достаточно уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, а затем находят токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов.

Порядок расчёта этим методом рассмотрим на примере (рис. 1.22).

1. Анализ цепи: В = 6, У = 4, В_т = 1, В₀ = 1. N_МУП = У – 1 – В₀ = 2. Здесь: В₀ – ветви с нулевым сопротивлением.

2. Обозначаем узлы схемы.

3. Потенциал одного из узлов принимаем равным нулю. Если в схеме есть ветвь с нулевым сопротивлением (R₂ = 0), то следует заземлить узел, примыкающий к этой ветви: пусть ₄ = 0, тогда ₃ = Е₂ (это следует из третьего уравнения составленной системы при R₂  0).

Для узлов с неизвестными потенциалами уравнения имеют вид:

 ₁(R₁^-1 + R₆^-1) – ₂·R₆^-1 –  ₃·R₁^-1 = – J – E₁/R₁,

–  ₁·R₆^-1 +  ₂(R₆^-1 + R₃^-1 + R₄^-1) = E₄·R₄^-1.

Решая систему, находим неизвестные потенциалы ₁ и ₂.

4. Принимаем положительные направления токов в ветвях и через найденные потенциалы по закону Ома определяем токи ветвей. В ветви с нулевым сопротивлением ток находится по первому закону Кирхгофа в последнюю очередь:

I₁ = ; I₃ = ; I₄ = ; I₆ = ; I₂ = – I₃ – I₄.

Е сли в схеме всего два узла, МУП превращается в метод двух узлов (узлового напряжения). Применяется часто при расчёте трёхфазных цепей. Так как в схеме два узла, а потенциал одного из них принят равным нулю, то, отыскивая потенциал другого узла, тем самым находим так называемое узловое напряжение, которое может быть записано сразу одной формулой. Например, для схемы рис. 1.23 пусть  _b = 0, тогда узловое напряжение

U_ab =  _a –  _b = .

Токи находятся по закону Ома.

Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа, составлением БМ или расчётом другим методом.

Метод контурных токов (МКТ) (задачи 1.20-1.26 /5/)

Снова способом подстановки уменьшим количество уравнений в системе, составленной по законам Кирхгофа для схемы рис. 1.22. Однако теперь выразим токи ветвей дерева через токи ветвей связи, используя уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа:

i₁ = i₂ + j, i₃ = – i₂ – i₄, i₆ = – i₁ – j = i₂.

Оставшиеся два уравнения принимают вид:

R₁·(i₂ + j) + R₃·(– i₂ – i₄) – R₆·i₂ = e₁ – e₂,

– R₃·(– i₂ – i₄) + R₄·i₄ = e₄.

В конечном итоге после раскрытия скобок и приведения подобных получим следующую систему уравнений: R₁₁·I_I  R₁₂·I_II  R₁₃·I_III  …  R_1n·I_n = E₁₁,

 R₂₁·I_I + R₂₂·I_II  R₂₃·I_III  …  R_2n·I_n = E₂₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

 R_n1·I_I  R_n2·I_II  R_n3·I_III  … + R_nn·I_n = E_nn,

где I_I, I_II, I_III – токи ветвей связи, взятые в качестве некоторых фиктивных контурных токов,

R_ii – собственное сопротивление i-ого контура – сумма сопротивлений ветвей, входящих в этот контур;

R_ij – взаимное сопротивление i-ого и j-ого контуров – их общее сопротивление. Берётся с “+”, если i-ый и j-ый контурные токи в этом сопротивлении направлены одинаково, и с “-“, если – в противоположные стороны.

Е_ii – алгебраическая сумма ЭДС источников ЭДС, входящих в i-ый контур. ЭДС берётся с “+”, если её направление совпадает с обходом контура, и с “-”, если нет.

И так, сущность метода состоит в том, что сначала по числу независимых контуров вводят так называемые контурные токи, для определения которых достаточно уравнений лишь по второму закону Кирхгофа, а затем через контурные токи по принципу наложения записывают искомые токи ветвей. В качестве контурного можно принимать ток ветви, придающей независимость контуру (ветвь связи). И наоборот, если в какой-то ветви ток известен и принят в качестве контурного (например, ток источника тока), то эту ветвь уже нельзя включать в другие контуры.

Порядок расчёта рассмотрим на примере (рис. 1.24).

1. Анализ цепи: В=5, У=3, В_т=1, В₀=1; N_МКТ = В – (У – 1) – В_т = 5 – (3 – 1) – 1 = 2.

2. Определяем число независимых контуров в цепи: N_конт = В – (У – 1) = 3. Вводим контурные токи I_I, I_II, I_III. Направление произвольное. Если в схеме есть ветви с известными токами, их принимают в качестве контурных (I_III = J).

3 . Для контуров с неизвестными контурными токами составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. В данном случае (R₂ + R₃)·I_I + (R₂ + R₃)·I_II + R₂·I_III = E₁ – E₂;

(R₂ + R₃)·I_I + (R₂ + R₃ + R₄)·I_II + R₂·I_III = -E₂;

I_III = J.

4. Решая систему, определяем контурные токи.

5. Принимаем положительные направления токов в ветвях и определяем их через контурные токи по принципу наложения:

I₁ = I_I, I₂ = – I_I – I_II – I_III, I₃ = – I_I – I_II, I₄ = – I_II.

6. Проверка правильности решения – по второму закону Кирхгофа, составлением БМ или расчёт токов другим методом.

Если систему уравнений для контурных токов решать методом Крамера, то для отдельного контурного тока можно записать следующую формулу:

I_k = E₁₁A_k1/  + E₂₂A_k2 / + E₃₃A_k3/  + ..... + E_nnA_kn/,

где  – определитель системы, A_kl - алгебраическое дополнение определителя системы, которое получается из  путем вычеркивания k-го столбца, l-й строки и умножения оставшейся части на (-1)^kl .

Если в последней формуле заменить контурные ЭДС соответствующими суммами ЭДС ветвей и собрать слагаемые, их содержащие, то получим

I_k = E₁_k1/  + E₂_k2 / + E₃_k3/  + ..... + E_В_kВ/,

где _kl – некоторые суммы алгебраических дополнений определителя .

Полученная формула является доказательством принципа наложения и говорит о том, что ток любой ветви состоит из его составляющих, создаваемых каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, МЗК, МУП и МКТ относятся к основным расчётным методам. Если в МЗК прямое решение задачи (составляется система уравнений и результатом её решения являются искомые ответы), зато большое количество уравнений (по обоим законам Кирхгофа), то в МУП и МКТ количество уравнений меньше (либо только по первому закону Кирхгофа (МУП), либо по второму (МКТ)), однако задача решается в два этапа – сначала определяются потенциалы узлов или контурные токи, а по ним находят искомые токи ветвей.

Принцип и метод наложения (МН) (задачи 1.48-1.53 /5/)

В любой электрической сети токи являются результатом действия источников. Если в сети несколько источников, ток в любой ветви линейной цепи может быть представлен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этой ветви действием каждого источника в отдельности. Принцип наложения применим только к линейным цепям. Этот принцип основан на принципе независимости действия ЭДС различных источников и на том, что ток в линейном резисторе прямо пропорционален напряжению. На базе принципа наложения разработан метод наложения.

Наложение возможно в любой системе (электрической, механической и т.п.), в которой причинно-следственная связь y = f(x) записывается как

f(x₁) + f(x₂) = f(x₁ + x₂).

Процессы в линейных цепях (токи и напряжения) описываются уравнениями первой степени. Соответственно, если в цепи имеется хотя бы одна переменная величина со степенью выше первой, то метод наложения принципиально использован быть не может. Например, МН можно рассчитывать токи в линейных цепях, но нельзя рассчитывать мощности в этих цепях, так как мощность связана с напряжением или током квадратичной, а не линейной, зависимостью.

На базе принципа наложения разработан МН. Он прост, но громоздок, так как предполагает многократный расчёт цепи (с каждым источником в отдельности). К основным не относится. Иногда нужен, чтобы посмотреть, как влияет на некоторый ток какой-нибудь источник.

Порядок расчёта:

- принимаем положительные направления токов в ветвях;

- полагаем, что в схеме действует только один источник, например, Е₁, остальные источники заменяем их внутренними сопротивлениями (R_E = 0, R_J = );

- аналогично рассчитываем цепь при действии 2-го, 3-го источника и т.д.;

- полные токи записываем в виде: I_q = I_q + I_q + I_q + …