Дуальность

Анализ электрических цепей показывает, что существуют такие цепи, между которыми наблюдается специфическая аналогия: уравнениям относительно токов одной цепи аналогичны уравнения относительно напряжений другой цепи. Такие цепи получили название дуальных (двойственных). Два элемента электрической цепи называют дуальными, если уравнение u(t) одного элемента совпадает по форме с уравнением i(t) другого. Возьмём уравнения для пассивных элементов R, L, C.

1-й способ: u = R·i, u = L·di/dt, u = (1/C)i·dt;

2-й способ: i = g·u, i = C·du/dt, i = (1/L)u·dt.

Видно, что дуальными являются: напряжение и ток; сопротивление и проводимость; индуктивность и ёмкость; также дуальны источники ЭДС и тока; узлы и ветви; 1-й и 2-й законы Кирхгофа и т.д.

Другими словами, теоремы, зависимости, решения и т.п., справедливые для одной электрической цепи, будут верными и для дуальных величин дуальной электрической цепи. Переход к дуальным величинам – вопрос терминологии, но не уравнений. Это обстоятельство используется при расчете и анализе электрических цепей.

I. Линейные цепи постоянного тока

И деальный резистивный элемент (условное обозначение на рис. 1.1 – а) линейный; б) нелинейный; в) параметрический) учитывает преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в конечном итоге – в тепло. Его сопротивление обусловлено чисто механическими причинами – столкновением движущихся зарядов с молекулами вещества. При этом электрическая энергия переходит в тепло, не накапливаясь в элементе.

Характеризуется связью между током и напряжением, так называемой вольт-амперной характеристикой (ВАХ) i = f(u) (представлены на рис.1.2: 1 – линейный резистор; 2 и 3 – нелинейные). Таким образом, идеальный резистивный элемент позволяет реализовать алгебраическую связь между напряжением и током при создании математической модели. Для линейного резистора справедлив закон Ома: i = u/R. Здесь R – коэффициент пропорциональности, называемый резистивным сопротивлением элемента; измеряется в Омах. Сопротивление R проводника прямо пропорционально его длине l, обратно пропорционально поперечному сечению S и зависит от материала, из которого изготовлен проводник: R = ·l/S. Удельное сопротивление  есть сопротивление проводника единичного сечения и единичной длины. В системе СИ удельное сопротивление измеряется в Ом·мм²/м или Ом·м. Так как закон Ома справедлив для мгновенных значений напряжения и тока резистора, резистор является неискажающим элементом, то есть кривые напряжения и тока совпадают по форме. Аналогично тому, как в механических устройствах существует явление трения, в электрических проводниках ему соответствует электрическое сопротивление. Мощность, рассеиваемая резистором, – p = u·i = (R·i)i = R·i². Величина, обратная сопротивлению g = R^-1, называется проводимостью и измеряется в Сименсах.

Активные элементы цепи и их характеристики

(задача 1.6 /5/)

И сточник электрической энергии представляет собой активный двухполюсник. Рассмотрим его работу на регулируемую нагрузку R_н (рис. 1.3). Режим работы источника, когда сопротивление нагрузки бесконечно и, соответственно, ток равен нулю, называется холостым ходом. Режим работы, когда сопротивление нагрузки и напряжение равны нулю, называется коротким замыканием.

Пусть в источник за некоторое время поступило W единиц энергии (не обязательно электрической). Часть этой энергии (W_вн) израсходовалась в самом источнике на его нагрев. Остальная часть W_н поступила в нагрузку. То есть W = W_вн + W_н. Пусть в течение этого же времени по цепи протекал ток I, на зажимах нагрузки действовало напряжение U и по цепи протекло q кулонов электричества. Тогда W/q = W_вн/q + W_н/q. Здесь

W/q = Е – работа, выполненная внутри источника сторонними силами (силами неэлектрической природы) при перемещения единичного заряда; ЭДС;

W_вн/q = IR_вн – та часть энергии единичного заряда, которая израсходована внутри источника, она называется падением напряжения внутри источника; r_вн – внутреннее сопротивление источника;

W_н/q = U = IR_н – та часть энергии одного кулона, которая израсходована в нагрузке, т.е. напряжение на нагрузке.

Таким образом, Е = IR_вн + IR_н или U(I) = Е – IR_н – уравнение прямой линии.

Отсюда I = E/(R_вн + R_н).

Применительно к источникам связь между током и напряжением U(I) (ВАХ источника) называется нагрузочной или внешней характеристикой и имеет вид рис. 1.4. Прямая задаётся двумя точками, поэтому источники электрической энергии можно охарактеризовать двумя параметрами:

1 способ: U_хх и R_вн: U = U_хх – R_вн·I;

2 способ: I_кз и g_вн = (R_вн)^-1: I = I_кз – g_вн·U.

Если R_вн  0, U  U_хх = E. Получаем идеальный источник ЭДС (рис. 1.5), у которого

R_вн = 0; U = U_хх = E = const; I = var, P_E = .

Если R_вн  , I  I_кз = J. Получаем идеальный источник тока (рис. 1.6), у которого

R_вн = ; I = I_кз = J = const; U = var, P_J = .

Р еальный источник представляется одной из двух схем замещения, представленных на рис. 1.7. От одной схемы можно перейти к другой по соотношениям: g_вн = (R_вн)^-1; Е = R_вн·J или J = g_вн·E.