Классификация цепей с точки зрения расчёта

р азличают цепи: элементарные (содержат один источник и один приёмник электроэнергии – рис. 1.8а); простые (один источник и последовательно-параллельно соединённые приёмники – рис. 1.8б); сложные (несколько источников или при одном источнике приёмники соединены так, что их соединение нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному – рис. 1.8в и г). Элементарные и простые цепи рассчитываются на основании закона Ома, а сложные требуют специальных методов расчёта.

Топологические характеристики электрических цепей

Ветвь – это участок цепи, обтекаемый отдельным током.

Узел – это точка цепи, в которой сходятся не менее трёх ветвей.

К онтур – замкнутый путь по ветвям. Контур называется независимым, если содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Последовательное – такое соединение, при котором элементы обтекаются одним и тем же током.

Параллельное – такое соединение, при котором элементы находятся под одним и тем же напряжением.

Граф электрической цепи – это условное изображение цепи в виде узлов и соединяющих их ветвей без указания элементов в них (рис. 1.9). Если ветвям придаётся направленность, то граф называют направленным.

Деревом графа называют любую совокупность ветвей, которая соединяет все узлы, но не образует ни одного замкнутого контура (рис. 1.10).

Дерево графа всегда содержит ветвей на единицу меньше числа узлов в схеме:

N_д = У-1.

К аждая ветвь, не вошедшая в дерево, называется ветвью связи и образует с деревом контур. Поэтому число независимых контуров цепи определяется числом ветвей связи, то есть N_конт = В_св = В – (У-1).

Подграфом называют часть графа.

Сечением графа называют множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых в частном случае может быть изолированным узлом.

С ечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви (рис. 1.11).

Основные законы и соотношения электрических цепей

(задачи 1.1-1.5, 1.7, 1.8 /5/)

З акон Ома (применяется для резистивного участка цепи рис. 1.12): ток, протекающий по участку линейной цепи, прямопропорционален приложенному напряжению I = U/R.

Например, для цепи рис. 1.13

I_вх = I₁ = U_вх/R_вх =

или I₁ = U₁₂/R₁ = U₂₃/R₂₃ = U₂₃/ , I₂ = U₂₃/R₂, I₃ = U₂₃/R₃.

Д ля участка цепи с источником ЭДС (закон Ома в обобщённой форме) (рис. 1.14)

I = = .

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом сечении равна нулю i = 0. Например, для сечения S рис. 1.15: -i₁+i₂+i₃-j =0.

Следствие: алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю. Обычно вытекающие из узла токи берутся с "плюсом", а притекающие – с "минусом".

Первый закон Кирхгофа выражает собой закон сохранения материи (заряда) применительно к электрическим цепям.

Второй закон Кирхгофа применяется для контуров, не содержащих источники тока: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре u = e. Если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, оно берётся с "плюсом", а если нет – с "минусом".

Второй закон Кирхгофа является следствием потенциального характера электростатического поля и закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям. Существует вторая форма записи этого же закона U_в = 0, где U_в – напряжения на ветвях, входящих в контур.

Например, для контура R₁-R₄-R₃ рис. 1.15: R₁·i₁ + R₄·i₄ + R₃·i₃ = e₁.

Законы Кирхгофа являются универсальными: они справедливы относительно мгновенных значений токов и напряжений для всех цепей в любых режимах работы в любой момент времени.

При расчёте резистивных участков полезно использовать правило разброса: ток одной из двух параллельно соединённых ветвей, не содержащих источники, равен произведению общего тока на сопротивление другой ветви, поделённому на сумму с опротивлений ветвей. Для рис. 1.16

I₁ = I ; I₂ = I .

Вывод основан на законе Ома:

U_ab = I·R_ц = I ; I₁ = ; I₂ = .

Энергия, выделенная в резисторе за время от t₁ до t₂, определяется по закону Джоуля-Ленца: A = = = .

Мощность выделения тепла в резисторе: р = = u·i = R·i² = g·u².

Р ассмотрим эквивалентную замену последовательного и параллельного соединения резисторов.

k сопротивлений на рис. 1.17 соединены последовательно. Пусть ток I направлен по часовой стрелке. В соответствии со вторым законом Кирхгофа R₁·I + R₂·I + …+ R_k·I = E или (R₁+R₂+ …+R_k)·I = E, или R_экв·I = E.

Таким образом, сопротивление, эквивалентное последовательному соединению резисторов, R_экв = R₁ + R₂ + …+ R_k.

Следовательно, при последовательном соединении сопротивления складываются. Если сопротивления одинаковы

R₁ = R₂ =…= R_k = R, то R_экв = k·R.

k сопротивлений на рис. 1.18 соединены параллельно. Ток I_x в некотором сопротивлении R_x по закону Ома равен E/R_x. Общий ток I, получаемый от источника,

I = + + … + = E·( + + … + ).

Эквивалентное параллельному соединению сопротивление

R_экв = = .

Таким образом, эквивалентное сопротивление есть обратная величина от суммы обратных величин сопротивлений отдельных резисторов. Проводимость участка

g_экв = = = g₁ + g₂ +…+ g_k.

В случае равных сопротивлений g_экв = k·g.

В случае параллельного соединения двух сопротивлений R_экв = .