7. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы. Қасиеттері.
Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
Анықтама: дискрет кездейсоқ шама беріліп,
-
мәндер жиыны,
,
- үлестірімі белгілі болсын. Егер
(24.1)
шарты орындалса, онда кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп
(24.2)
санын айтады.
Қасиеттері: (Математикалық күтім)
-
ықтималдық кеңістікте
кездейсоқ шамалары беріліп, олардың
ақырлы математикалық күтімдері бар
болсын.
М1)
,
М2)
Сызықты қасиеті
М3)
Егер
кездейсоқ шама болса, ол дегеніміз
,
онда
М4)
М5)
Егер
өзара тәуелсіз болса, онда
М6)
М7) Коши- Буряковский теңсіздігі
Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама берілсін.
-
оның тығыздығы болсын
Егер
болса, онда кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық күтімі бар дейді және оның математикалық күтімі деп
санын айтады.
Дискрет жағдайда дәлелдеген М1)- М7) қасиеттерінің барлығы абсолют үзіліссіз сақталады. Оны дискрет жағдайда пайдаланып , шекке көшу арқылы дәлелдеуге болады.
Кездейсоқ шаманың дисперсиясы
кездейсоқ шама берілсін. Оның дисперсиясы деп
санын айтады. Дисперсияның практикалық мағынасы мынада: кездейсоқ шама мәнінің оның орташа мәнінен ауытқуларының квадраттарының орташасын көрсетеді.
Дисперсия үлкен сан болса, бұл кездейсоқ шама мәнінің оның орташа мәнінен алшақ жатқан мәндері жиі кездеседі деген сөз.
Қасиеттері:
D1)
Егер
кездейсоқ шамасы тұрақты (ерекше)
болса, онда
.
Ал
жалпы жағдайда
.
D2)
D3)
D4)
Егер
өзара тәуелсіз болса , онда
Дисперсия есептеу формулалары
I. Дискрет жағдайда
Егер D2) -ні ескерсек , бұған қоса мына формула бар:
II. Абсолют үзілісіз жағдайда
немесе
8. Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.
-
да
кедейсоқ шамалары берілген. Олардың
ортақ үлестірімі белгілі болсын.
мен
кедейсоқ шамаларының ковариациясы
деп
санын айтамыз.
Қасиеттері:
С1)
С2)
С3)
С4)
Егер
мен
тәуелсіз болса, онда
С5)
және
бұл жерде теңдік орындалу үшін
,
функциялары сызықты тәуелді болуы
қажет және жеткілікті.
Ковариацианы есептеу формуласы
Корреляция коэфициенті
санын
және
кездейсоқ шамаларының корреляция
коэфициенті деп
аталады.
Қасиеттері:
болуы
үшін
мен
өзара сызықты тәуелді болуы қажет
және жеткілікті
мен
тәуелсіз болса , онда
.
Бірақ бұған кері тұжырым дұрыс емес. Бұл қасиеттерден корреляциялық коэффициенттің келесі практикалық мәні көрінеді : корреляциялық коэффициент екі кездейсоқ шаманың тәуелділігінің өлшеуіші болып табылады. Корреляциялық коэффициент +1 немесе -1-ге жақын болса, олардың арасындағы тәуелділік күшті деген сөз. Ал корреляциялық коэффициент 0-ге жақын болса, онда олардың арасындағы тәуелділік әлсіз деген сөз.