7. Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.

Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері

Жазықтықта жататын кез-келген 2 коллиниар емес вектор оның бағыттауыш векторлары деп аталады. Жазықтықтың теңдеуін жазу үшін 3 нәрсе к/к.: 1нүкте ж/е 2 бағыттауыш вектор.

жазықтық

, бағыттауыш вектор

,бағыттауыш вектор,

, параллель емес векторлар

- ағымдағы нүкте

- =

( , )- базис

;

-

= - жазықтықтың векторлық, параметрлік теңдеуі

(2) жазықтықтың координаттық, параметр-к теңдеуі.

компланар векторлар болуы қажетті және жеткілікті

( , )=0

=0 (3)

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Теорема: 1) Аффин координат-р жүйесінде кез-келген жазықтықтың теңдеуі кеңістікте бірнеше дәрежелі теңдеумен жазылады.

(4)

2) Кез келген (4) түрдегі теңдеу кеңістікте жазықтықты анықтайды.

Д/у: 1)дәлелдеу үшін (3) пен (4) тің байланысын табу керек.

(3) =>(4) (3)ті 1-қатар бойынша жіктейміз.

=0

=А =В =С

=> Ax+By+Cz+D=0;

2) (4)=>(3) (4) => ал (4) 1 дербес.

Шешімі => (5).

(4)-(5)= (6)

=

(7).

(6)=(7)=>(3) теорема дәлелденді.

Салдары 1. (4) түрлі теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі д.а.

Салдары 2. (6) теңдеу

( 6) = ( , ) = 0;

Декарт координаттар жүйесінде (А,В,С) – жазықтықтың нормаль векторы д.а.

Үш нүкте арқылы жазылған жазықтықтың теңдеуі.

бір түзудің бойында жатпайды.

( 3)

= 0 (8)

Кесінділер арқылы берілген жазықтықтың теңдеуі

( 4) / -D

(9)

= a; = b; = c.

1 ) x=0 y=0 z=c

2 ) x=0 z=0 y=b

3 ) y=0 z=0 x=a

Екі жазықтықтың орналасуы және арасындағы бұрыш.

1 )

2)

3)

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш –ол нормаль-р-ң арасындағы бұрыш.

Нүктелердін жазықтыққа дейінгі арақашықтығы.

Ax+By+C+D=0;

d-? (арақашықтық)

M(x,y,z)

d= = = =

8. Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.

Жоғары математикада екінші дәрежелі теңдеулермен анықталатын сызықтарды екінші pеттi қисықтар деп атайды. Олар негізінен шеңбер, эллипс, гипербола және парабола деп аталады. Бұл қисықтар техника мен ғылым саласында иі кездеседі.

1. Шеңбер. Шеңбердеп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.

С(х₀,у₀) - берілген нукте. Шеңбердің бойынан кез келген

жылжымалы М(х,у) нүктесін алайык. Сонда СМ(х -х₀,у-у₀),

мұндағы F₁ және F₂ -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.

Егер шеңбердің центрі С координаттардың бас нүктесінде жатса, онда х₀ = у₀ = 0 .

Сондықтан: х² +у² = R²

2. Эллипс. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды. Анықтама бойынша F₁M + F₂M = 2a

нүктелер,

М{х, у) – эллипстің бойындағы кез келген жылжымалы нүкте,

2а-тұрақты шама

Егер F₁F₂ = 2с десек, онда F₁(-C;0), F₂(C;0). Сонда:

Енді осы мәндерді қойсақ:

немесе

Егер а>с болса, онда а² —с²=b² болады. Сондықтан эллипстің канондық теңдеуі деп аталатын теңдеуге келеміз:

Мұндағы х пен у эллипстің кез келген жылжымалы нүктесінің координаттары, а – эллипстің үлкен жарты oci, b – онын кіші жарты oci.

Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтердің қиылысатын нүктесі эллипстің цeнтpi болады.

қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с болғандьқтан l < 1 немесе

Эллипстің үлкен осіне перпендикуляр түзулердің ішінде 6ip түзудің эллипстің кіші осінен қашықтықты d әрқашанда а/l қатынасына тең тұрақты шама болса, онда мұндай түзуді эллипстің директрисасы деп атайды. Директрисалардың тендеу . Эллипс үшін l < 1 болғандьқтан .

Сондықтан эллипстің директрисалары оның сыртында жатады.

Егер a=b болса, онда шеңбер эллипстің дерпбес жағдайы болады. Бұл жағдайда с=0, ендеше шеңбердің эксцентриситеті нөлге тең.

3. Гипербола. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын гипербола деп атайды.

4. Парабола. Фокус деп аталатын берілген нүктеден және директриса деп аталатын берілген түзуден ара қашықтықтары бірдей болатын жазықтықтарды нүктелерің геометриялык орындарын парабола дейді Берілген F нүктесінің координаталарын былай белгілейді

Координаталардың бас нүктесінен Р/2 қашықтықтағы ординат осіне параллель берілген түзуді параболаның директрисасы дейді.

М(х,у) - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нүкте.

Анықтама бойынша

FM=ME

Екі нүктенің ара қашықтығыньң формуласы бойынша

осы мәндерді апарып қойып, шыққан өрнекті түрлендірсек, параболаның канондық теңдеуі шығады:

у²=2рх

мұндагы р -берілген фокус пен директрисаның арасындағы қашықтық, х пен у - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нуктенің координатасы.

Параболаның эксцентриситеті:

Параболаның директрисасының теңдеуі:

Matan

1.Тізбектер және оның шегі. Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі.

Натурал сандар жиынында анықталған функциясының мәндерін сан тізбегі немесе тізбек деп атайды.

Егер тізбегі берілсе, оны символымен белгілейді немесе былай жазады:

Анықтама 1. Егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін өспелі дейді.

Анықтама 2. егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін кемімелі дейді.

Анықтама 3. егер кез келген үшін теңсіздігін қанағаттандыратындай оң саны табылса, онда тізбегін шектелген деп атайды.

Анықтама. Егер әрбір алдын ала берілген санына сәйкес натурал саны табылса және кез келген нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда санын тізбегінің шегі деп атайды. Жазылуы: немесе ұмтылғанда деп жазады.

Мысалы, тізбектің шегін табу керек.

Шешімі. болады.

Анықтама. Шегі бар тізбекті жинақты деп, шегі жоқ тізбекті жинақсыз деп атайды. Егер тізбектің шегі бар болса, онда тізбек шектелген болады. Жинақты тізбектің бір ғана шегі бар. Жоғары (төменгі) жағынан шектелген өспелі (кемімелі) тізбектің шегі бар.

Анықтама. Егер тізбектің шегі нөльге тең болса, онда мұндай тізбекті шексіз аз деп атайды.

Теорема 1. Екі шексіз аз тізбектердің қосындысы шексіз аз болады.

Теорема 2. Шектелген тізбектің шексіз аз тізбекке көбейтіндісі шексіз аз тізбек болады.

Анықтама. Егер кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз үлкен шама дейді және былай жазады: .

Теорема 3. Егер тізбегі, шексіз үлкен болса, онда тізбегі шексіз аз және керісінше тізбегі шексіз аз болса, онда тізбегі шексіз үлкен.

Теорема 4. Егер және тізбектері жинақты болса, онда

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Егер , онда

Жиі қолданылатын шектер

– бірінші тамаша шек.

- екінші тамаша шек.

тізбегі үшін теңсіздігі орындалады. Сондықтан жоғарыдан шенелген өспелі тізбек.

шегі бар болады. санының жуық мәні болатыны дәлелденген. Бұл сан Непер саны деп аталады.

2.Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі.

P мен q әріптерінің әрқайсысы c(c-нақты сан) , c+0,c-0, ∞,+∞ және -∞ символдарының бірі, f функциясы X нақты сандар жиынында анықталып, p сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер әрбір ε оң саны үшін f функциясының p- ның белгілі бір ойылған δ(ε)- маңайында қабылдайтын міндердің бәрі де q- дің маңайында жатса, онда x p – ға ұмтылғанда f(x) функциясының шегі бар және q- ға тең дейді де , немесе символдармен белгіленеді.

Бұл жағдайды басқаша

деп те атайды.

Дәлірек p=a, p=a+0, p=a-0 болғанда -ді f функциясының a нүктесіндегі сәйкес жай (екі жақты) , оң жақты және сол жақты шегі деп, ал q=b, q=b+0, q=b-0 болғанда f функциясы сәйкес b-ға, b-ға жоғарыдан, b-ға төменнен ұмтылады дейді.

Шектің анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:

Коши критерийі.

f функциясы X жиынында анықталып, a нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. Онда f функциясының a нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуы үшін, әрбір ε оң саны бойынша X жиынынан алынған 0 және 0 теңсіздіктерін қанағаттандыратын кез келген x,y сандары үшін теңсіздігі орындалатындай δ оң саны табылуы қажетті және жеткілікті.

Кванторлар тілінде бұл теорема былай жазылады:

f- тің а нүктесінде нақты ( )( )( )

мәнді шегі бар

: ε. (1)

(1)- нің оң жағында жазылған шарт Коши шарты деп аталады.

Сонымен Коши критерийін былай айтуға болады: функциясының а нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуы үшін сол нүктеде Коши шарты орындалуы қажетті және жеткілікті.

3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.

Үзіліссіздіктің анықтамасы жөнінде жалпы ескертулер жасайық.

1 .Үзіліссіздіктің анықтамасы келесі екі шарттың орындалуын талап етеді: біріншіден, x x₀-ге ұмтылғанда f(x)-тің y₀ нақты санына шегі бар, екіншіден y₀ саны f функциясының x₀ нүктесінде қабылдайтын мәні болатын f(x₀) санына тең.

2 .Үзіліссіздік-локальді ұғым.

3 . Жалпы жағдайда функцияның әрбір жеке алынған нүктеге сәйкес мәнінің қалған нүктелерде қабылдайтын мәндерімен ешқандай байланысы жок. Мысалаы:

f(x)=

сәйкестігі функция болады. Сонымен бірге ноль нүктесінде мәні басқа мәндермен ешқандай байланысы жоқ,себебі =f(0) санына нақты болуынан өзге шарт қойылмаған.

Ал үзіліссіз функция үшін жағдай мүлде басқа: нүктесінде f функциясы үзіліссіз болса, онда f(а) саны f функциясының а-ның «қасындағы» нүктелерде қабылдайтын мәндері арқылы табылады. Дәл айтқанда f(а) саны шегіне тең, ал сол шектің анықтамасында f функциясының а нүктесінде қабылданатын мәні қатыспайды,тіпті бар болуы да қажетті емес.

4 . болғандықтан үзіліссіздіктің анықтамасындағы 1- теңдікті былай да жазуға болады.

5 Үзіліссіздіктің x→ f(x) → түріндегі анықтамасын үзіліссіздіктің x→ символының екі жағын да ережесін қолданғанда , сондағы ұмтылу сақталатынын белгілейді деп түсінуге болатынын көрсетеді.

Үзіліссіз функциялар шарттарды қанағаттандырады,сондықтан аталған теоремалардан салдар ретінде үзіліссіз функциялардың келесі маңызды қасиеттері шығады:

1-теорема. Әрбір функцияның үзіліссіздік нүктесі локальді шенелу нүктесі болды.

2-теорема. Егер f функциясы үзіліссіз болып, сол нүктеде қабылданған ) мәні оң (теріс) болса, онда белгілі бір маңайында мәндері де оң (теріс) болады.

Салдар. Егер функциясы үзіліссіз болып,оның белгілі бір ойылған маңайындағы барлық нүктелерде қабылданатын мәні нольге тең болса не -дің кез келген ойылған маңайында оң және теріс таңбалы мәндерді қатар қабылдаса, онда )=0 болады.

4.Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

Егер нүктесі f функциясының анықталу жиынында жатып, f сол нүктеде үзіліссіз болмаса, онда нүктесі f-тің үзіліс нүктесі немесе нүктесінде үзіледі дейді. Үзіліссіздік жағдайындағыдай, үзіліс нүктесінің (үзілістіктің) әртүрлі өзара эквивалентті анықтамалары бар.

Егер белгілі бір оң саны мен кез келген оң саны үшін

теңсіздіктері орындалатын саны табылса өрнегі жазылғандықтан, алдын ала саны f-тің анықталу жиынында жатады деп ұйғарамыз, немесе егер белгілі оң саны үшін шарттарын қанағаттандыратын тізбегі бар болса, онда f функциясы нүктесінде үзіледінемесе үзіліс нүктесі дейді.

Егер f функциясы нүктесінде үзілісті болып, сол нүктеде оның сол және оң жақты нақты мәнді шектері бар болса, онда f функциясы нүктесінде жай немесе бірінші түрдегі үзілісті дейді. Бірінші түрдегі үзіліс тек мына төрт жағдайдың бірінде ғана мүмкін:

f( )=f ( )

f( )=f ( ) ,

f( )

f( 0)

Егер f функциясы нүктесінде үзілісті болып, бірақ үзіліс бірінші түрдегі үзіліс болмаса, дәл айтқанда, нүктесінде f-тің кемінде бір біржақты нақты мәнді шегі болмаса, онда f функциясы нүктесінде күрделі немесе екінші түрдегі үзілісті дейді. cаны f функциясының нүктесіндегі секірмесі деп аталады, өзара тең оң және сол жақты нақты шектері бар болғанда, яғни секірме ноль болатын, жағдайдың бір ерекшелігі бар: f функциясын бір ғана нүктесінде өзгертіп, сол нүктеде үзіліссіз болатынфункцияға айналдыруға болады =f(x),eгер болса, =f ( ), x= егер болса

сондықтан, кейде секірмесі нольге тең болатын үзілісті жөнделетін үзіліс деп атайды.

5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.

Y=f(x) ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀)

Lim{∆x→0}∆y/∆x=fꞌ(x₀) lim{∆x→0}α(∆x)=0

∆y/∆x=fꞌ(x₀)+α(∆x)

∆y=A∆x+α(∆x)*∆x

Анықтама:Функцияның өсімшесінің (∆y) ∆x қарағандағы сызықты,ең басты бөлігін сол функцияның дифференциалы деп атайды.

Dy=A*∆x=fꞌ(x)*∆x

yꞌ,dy/dx ∆x=dx

y=x

dy=dx=1*∆x

∆y͌≈dy

F(x₀+x)-f(x₀)≈fꞌ(x₀)*∆x

F(x₀+∆x) ≈f(x₀)+fꞌ(x₀)*x

Мысалы:arctg 1,05=?

y=arctgx

x₀=1 yꞌ=1/1+x²

∆ x=0,05 fꞌ(x₀)=0,5

f(x₀)=π/4

arctg1,05≈3,14/4+0,5*0,05=0,785+0,025=0,810

6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

Анықталған интегралдың анықтамасы. сегментінде анықталған функциясы берілсін. Осы сегментті қалауымызша алынған нүктелерімен бөлікке бөліп, әр бөлік сегменттен кез келген нүктесін алып, Риман қосындысы немесе интегралдық қосынды деп аталатын мынадай қосынды жасайық: .

Бұл қосындының мәні, жалпы алғанда, сегментін бөлу тәсілінен де, нүктелеріне де тәуелді. Бөлік сегменттердің ұзындықтарының ең үлкенін , яғни деп белгілейік.

Анықтама. Егер интегралдық қосынды -ның нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік сегменттердің ұзындықтары нөлге ұмтылғанда) сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және әр бөлік сегменттен нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті (тиянақты) шегі бар болса, осы шекті функциясының -дан -ға дейінгі немесе сегментіндегі анықталған интегралы деп,атайды да оны деп белгілейді. .

Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны –интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады.

Берілген анықтамадан жоғарғы, төменгі шектер тұрақты сандар болса, анықталған интеграл тұрақты санға тең болатынын байқаймыз, себебі ол айнымалы қосындының шегі.

Риман бойынша кесіндісінде интегралдагатын барлық функциялар жиынын арқылы белгілейді.

1-теорема. (қажетті шарт ) кесіндісінде анықталған функциясының осы кесіндіде Риман бойынша интегралдануы үшін оның осы кесіндіде шектеулі болуы қажет.

2 –теорема. (жеткілікті шарт) кесіндісінде шектелген функциясының осы интервалда интегралдануы үшін кезкелген саны табылып, параметрі болатын кесіндісінің кезкелген бөліктеуі үшін теңсіздігінің орындалуы жеткілікті.

Анықталған интегралдың орта мәні туралы теорема.

Егер функциясы сегментінде интегралданса және үшін теңсіздіктері орындалса, оның интегралы теңдігін қанағаттандырады,мұндағы теңсіздігін қанағаттандыратын тұрақты сан.

7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Риман интегралы сегментте (тұйық шенелген аралықта) анықталған және шенелген функция үшін анықталған еді. Осыған орай, мұнда Риман интегралы, біріншіден, шенелмеген аралық, екіншіден, шенелмеген функция жағдайларына жалпыланады. Бұл жалпылаулар Риман интегралы анықтамасына негізделіп, шекке көшу арқылы жүргізіледі де, пайда болған интеграл меншіксізинтеграл деп аталады (әрине, онда бастапқы Риман интегралы меншікті интеграл деп аталуы тиісті де, солай аталады да).

Сөйтіп, Риман интегралының өзі де шек екендігін ескере отырып, меншіксіз интеграл қайталанған шектің тағы бір түрін құрайтының көреміз.

Егерде нақты мәнді шегі бар болса, онда функциясы аралығында Риман бойынша интегралданады деп санының өзін сол функцияның меншіксізинтеграл деп атап, оны

(1) символымен белгілейді. Бұл жағдайда «(1) интегралы жинақталады» деп те атайды.

Сөйтіп, (1) интегралының жинақталуыне функциясының аралығында интегралдануы = (2) шарты орындалуымен парапар.

Меншіксізинтегралдың қасиеттері:

аралығында анықталған функциясы әр сегментінде интегралданады деп алдын-ала ұйғарамыз.

. Егерде, аралығында анықталған функциялары үшін меншіксіз интегралды бар болса, онда әр және нақты сандары үшін функциясы сол аралықта интегралданып,

(12)

теңдігі орындалады.

2 . меншіксіз интегралы жинақталуы үшін оның әр қалдық интегралы, яғни, болғандағы интегралыжинақталуы қажетті де жеткілікті және олар жинақталған жағдайда

(13)

теңдігі орындалады.(13)теңдігін меншіксіз интегралдың аддитивтік қасиеті деп те атайды.

Ескерту.Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдардар жоқ!!!!!

8. Көп айнымалыдан тәуелді функция. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның шегі. Көп айнымалыдан тәуелді функция үшін Тейлор формуласы.

Көп айнымалылы функциялар үшін Тейлор формуласы.

f(x) E ашық жиынында анықталып, f(x) кірістіруін қанағаттандырсын, яғни Е жиынының әрбір нүктесінде f(x) функциясының реті s–тен аспайтын барлық мүмкін дербес туындылары бар және үзіліссіз болсын. a=( және x=( ) E нүктелерін жалғайтын кесінді Е жиынында толық жатсын, яғни - (i=1,2,…,n), h=( ) үшін t [0,1] болғанда a+th==( ) болсын. Онда [0,1] сегментінде

f(a+th)=f( (1)

күрделі функциясы анықталған болады. f болғандықтан кірістіруі орындалады, яғни бір айнымалы функциясы [0,1] сегментінде s рет үзіліссіз дифференциалданады, сол себептен (1) функциясы үшін болғандағы ( (2)-теңдігі орындалады. Сонымен бірге,(1) бойынша , (2) теңдігінде деп алып, бұл жағдайда 1 болатынын ескере отырып,

f( -f( )=f( = + (3)

теңдігіне келеміз. Егер (3) теңдігінде көмекші функциясынан бастапқы f функциясына толық көшсек, онда солай түрлендірілген (3) теңдігі көп айнымалылы Тейлор формуласы деп аталады.

9. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум.

сандық функциясы ашық жиынында анықталсын. Егер , біріншіден, нүктесі жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден, кірістіруі орындалатындай қайсыбір оң саны мен әрбір үшін теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді максимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді максимум нүктесі деп атайды. Егер теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді минимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді минимум нүктесі деп атайды.

Экстремум бар болуының қажетті шарты. Егер нүктесі функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, функциясының нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда сол дербес туындылары міндетті түрде нольге тең болады, яғни (1)

Экстремумның жеткілікті шарттары (екі айнымалы жағдайы).

1 – теорема. Екі айнымалы сандық функциясы нүктесінің қайсыбір - маңайында анықталып, сол маңайда

дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:

(2)

Мынадай белгілеулер енгізейік:

(3)

. Онда 1) егер болса, онда локальді экстремум нүктесі болып, болғанда локальді қатаң минимум, болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады;

егер болса, онда нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;

егер болса, онда нүктесі туралы нақты ештеңе айтуға болмайды; ол локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.

Шартты экстремум. сандық функциясы жиынында анықталып, жиыны берілсін. Егер: 1°. нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса; 2°. а нүктесі F жиынында жатып, сол жиынның шектік нүктесі болса, яғни а нүктесінің әрбір маңайында а-дан өзге болатын F жиынының нүктесі табылса; 3°. а нүктесінің белгілі бір маңайы мен F жиынында жатқан әрбір нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, яғни

( V _δ (a)

болса, онда а нүктесін f функциясының F бойынша шартты максимум (шартты минимум) нүктесі деп атайды. Әдеттегідей, шартты максимум мен шартты минимум шартты экстремум деп аталады.

Шартты экстремумның кажетті шарты.

Диференцианалданатын f функциялары арқылы

ψ(x₁,x₂,...,x_n) = f(x₁,x₂,...,x_n,φ₁(x₁,x₂,...,x_n),..., φ_m (x₁,x₂,...,x_n))

бойынша анықталған ψ(x₁,x₂,...,x_n) күрделі функциясы да сол маңайда дифференциалданады. Сондықтан локальді экстремумның қажетті шарттын қолданып келесі теңдеуге келеміз:

(a₁,a₂,...,a_n)=0 ,... , (a₁,a₂,...,a_m)=0 бұған байланыс теңдеудері беретін

F₁ (a₁,a₂,...,a_n+m)=0, ... , F_m (a₁,a₂,...,a_n+m)=0 теңдеулерін қосып, саны n+m болатын a₁,a₂,...,a_n+m белгісіз айнымалыларын табу үшін n+m теңдеу алдық. Осы теңдеулер шартты экстремумның қажеттін шартын құрайды.

Шартты экстремумның жеткілікті шарты.

x₁=a₁,...,x_n+m=a_n+m, λ₁= λ⁽⁰⁾₁, ... ,λ_m=λ⁽⁰⁾_m сандары

=0, ... , =0; =0, ... , =0 (1)

жүйесінің шешімін құрасын. Онда Ф(x)=f(x)+λ⁰₁F₁(x)+...+λ⁰_mF_m(x) Лагранж функциясы үшін

(2)

жүйесі n айнымалылы Q квадраттық формасын анықтайды.

10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Айталық сан тізбегі берілсін. Егер тізбектін мүшелерін «+» белгісімен тіркестіріп жазсақ, онда (1,1)түріндегі сан қатары деп аталатын өрнекті аламыз. Оны қысқаша былай белгілейді: сандарын қатардың мүшелері деп, ал кез келген нөмірлі мүшесін қатардың жалпы мүшесі немесе –мүшесі деп атайды. Қатар мүшесінің белгілі нөмері бойынша, бұл мүшені жазу ережесі белгілі болса, онда қатарды берілген дейді. Қатардың алғашқы мүшелерінің қосындысын қатардың -дербес қосындысы дейді. Оны былай белгілейді:

Ал, қатардың мүшелерінің саны шексіз болғандықтан, оның дербес қосындылары деребес қосындылардың шексіз тізбегін құрайды:

Қатар қосылғыштардың шексіз жиындарынан құрылатын болғандықтан, оларды тізбектей біртіндеп қосу арқылы қатар қосындысын анықтау мүмкін емес. Сондықтан, қатар қосындысының анықтамасын келтірейік. Егер дербес қосындысындағы қосылғыштар санын арттырсақ, онда мынандай үш жағдайдың біріне тірелеміз:

1. Дербес қосынды -нің қосылғыштары санын шектеусіз арттырғанда, ол белгілі бір шекке ұмтылады, яғни болады. Бұл жағдайда, қатарды жиынақты деп, ал санын оның қосындысы деп атайды. Сонымен

2. Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны шектеусіз артқанда

немесе болады. Бұл жағдайда,

қатарды жинақсыз /шашыранды/ дейді. Шашыранды қатардың қосындысы болмайды.

3. Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны шектеусіз артқанда, дербес қосынды ешқандай шекке ұмтылмайды. Бұл жағдайдан да қатарды жинақсыз болады дейді және қатардың қосындысы болмайды. Сонымен, тек жинақты қатардың ғана қосындысы болады екен:

_{Абсолютті жинақталған қатардың жинақталуы.}

сандық қатары берілсін. Егер осы қатардың әр мүшесін оның абсолютті шамасына алмастырғанда пайда болатын теріс емес

қатары абсолютті жинақталады дейді.

Теорема. Абсолютті жинақталатын қатар жинақталады.

Дәлелденуі Теорема шарты бойынша қатары жинақталады,демек, Коши критерийі бойынша әр саны үшін болған сайын болатындай саны табылады.Дәл осындай кез келген p мен q , демек, тағы да Коши критерийі бойынша , қатары жинақталады.Теорема дәлелденді.

Жинақты қатарлардың қасиеттері.1-теорема. Егер (1,1)қатары жинақты және қосынды болса, онда (1,3)(с-берілген сан) қатары да жинақты және оның қосындысы болады.Дәлелдеу. Айталық (1,1) қатардың -дербес қосындысы , ал (1,3) қатардың -дербес қосындысын дейік. Сонда боладлы. Бұдан Сонымен, (1,3) қатар жинақты және оның қосындысы болады екен.

2-теорема. Егер (1,1)және (1,4) қатарлары жинақты және олардың қосындылары сәйкес және болса, онда (1,5)қатары да жинақты және оның қосындысы + болады.

Дәлелдеуі: (1,1),(1,4) және (1,5) қатарларының дербес қосындыларын сәйкес және деп белгілейік. Сонда

Енді шекке көшсек

болады. Сонымен, (1,5) қатары жинақты екен. (1,5) қатарын (1,1) мен (1,4) қатарларының қосындысы дейді.

Ескерту. Осы сияқты (1,1) және (1,4) қатарлары жинақты болғанда,

(1,6) қатары да жинақты және оның қосындысы - -ке тең болатынын дәлелдеуге болады. (1,6) қатарды (1,1) мен (1,4) қатарларының айырымы дейді. Сонымен жинақты қатарды бір санға көбейтуге, шекті қосындылар тәрізді қатарларды мүшелеп қосуға және азайтуға болады екен. (1,6)қатарын (1,1) қатарының -қалдық мүшесі деп атайды. Ол (1,1) қатардан, оның алғашқы мүшелрін шығарып тастаудан алынады.

3-теорема. Егер қатар жинақты болса, онда оның кез келген қалдығы да жинақты болады. Егер қатардың қандай бір қалдығы жинақты болса, ол қатар да жинақты болады.

Дәлелдеу: Айталық қатары жинақты және қосындысы яғни болсын. Бұл қатардың шығарылып тасталған мүшелерінің қосындысын , ал алғашқы мүшелерінің қосындысын дейік. Сонда (1,7). Мұндағы саны -ге тәуелді емес белгілі бір сан. (1,7) теңдігінен

яғни (1,6) қатардың дербес қосындысының тізбегі -ның шегі бар болады. Сондықтан (1,6) қатары жинақты. Енді айталық (1,6) қатары жтнақты және оның қосындысы болсын дейік, яғнт дейік. Сонда (1,7) ден

Бұл (1,1) қатардың жинақты болатынын дәлелдейді.

Жинақты болудың қажетті шарты. Қатараларды қарстыруда мынандай екі мәселе туады:

1) қатардың жинақты, не жинақсыз болатынын анықтау, және 2)қатар жинақты болған жағдайда, оның қосындысын табу.

4-теорема. Егер қатары жинақты болса, онда оның жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз өскенде нолге ұмтылады, яғни

Дәлелдеу.Айталық қатары жинақты және оның қосындысы болсын. Оның

және дербес қосындыларын қарастырайық. Бұлардан

Сондықтан,

Өйткені және . Мұнда -да . Сонымен, екен.

Салдар. (Қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты.)

Егер қатардың жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз артқанда нөлге ұмтылмайтын болса, онда қатар жинақсыз болады.

Шынында, егер қатарды жинақты десек, онда алдыңғы теоремаға сәйкес қатардың жалпы мүшесі нолге ұмтылған болар еді. Бірақ, бұл шартқа қайшы. Сондықтан, қатар жинақсыз.

11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

Жалпы тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функция аталады. Нақты сандар жиыны берілсін. Егер әр n оң бүтін санына E жиынында берілген функциясы сәйкес қойылса, онда осы сәйкестік Е жиынында анықталған функциялық тізбек деп аталады.

Сандық қатар сандық тізбектің арнайы түрі болса да, көп жағдайда пайдалы түр екені туралы алдыңғы тарауда айтылған еді. Сол сияқты, функциялық тізбекті функциялық қатар ретінде қарастыру да көптеген жағдайда ұтымды болады. Е нақты сандар жиынында функциялық тізбегі берілсін.

cимволыфункционалдық қатар деп аталады.

Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті шарты, Дини* теоремасы. [a, b]cегментінде анықталған және сонда f(x) функциясына нүктелі жинақталатын функциялық қатар берілсін. Егерде f(x) функциясы мен әр n(n=1,2,…) үшін функциялары [a, b] сегментінде үзіліссіз болып, әр n(n=1,2,…) мен үшін теңсіздігі орындалса, онда қатары сегментінде бірқалыпты жинақталады.

12. Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.

түрінде

берілген функциялық қатар дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы

- нақты сандар.

А б е л ь т е о р е м а с ы. 1. Егер дәрежелік қатар 0 х х болғанда жинақты

болса, онда x x0 теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қатар

жинақты болады.

2. Егер дәрежелік қатар 1 х х болғанда жинақсыз болса, онда x x1

теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қатар жинақсыз болады.

Абель теоремасынан мынадай тұжырым жасауға болады: Кез келген

дәрежелік қатардың жинақты облысы ретінде a R x a R интервалы

алынады. Мұндағы R-жинақты радиусы, ал a R, a Rжинақты интервалы

деп аталады.

x a R нүктелерінде қатардың жинақтылығын тексеру үшін дәрежелік

қатарға x a R мәндерін қойғанда пайда болатын сандық қатардың тексеру

жеткілікті.

Егер R 0 болса, онда дәрежелік қатар тек x a нүктесінде жинақты

болады.

Егер R болса, онда дәрежелік қатар х-тің кез келген мәнінде жинақты

болады.

Дәрежелік қатардың жинақты радиусы

формулаларымен есептеледі.

Жинақты интервалында дәрежелік қатарды кез келген рет мүшелеп

дифференциалдауға және интегралдауға болады.

Теорема: Дәрежелік қатардың мүшелерін дифференциалдағаннан немесе интегралдағаннан шыққан қатарлар үшін берілген қатардың жинақтылық радиусы өзгермей қалады.

Дәлелдеу: Берілген қатарының жинақтылық радиусы R болсын. Сонда

Шегі |x|<R болғанда 1-ден кіші, ал |x|>R болғанда 1-ден үлкен. Берілген қатардың мүшелерін дифференциалдан, мынадай қатар құралық:

Енді (3) қатардың жинақтылық радиусы есептелік:

Енді (3) қатардың жинақтылық радиусы R-ге тең, яғни берілген қатардың жинақтылық радиусымен бірдей.

Енді теоремманың екінші бөлігін дәлелделік. Берілген қатардың мүшелерін интегралдағанда шыққан.

Қатардың жинақтылық радиусы R₁ болса, (4) қатардың дифференциалдасақ, жаңа ғана дәлелдегеніміз бойынша, жинақтылық радиусы өзгермей R₁ болып қалады. Ал (4) қатарды дифференциалдасақ, бастапқы қатарының өзі шығады. Демек R₁=R.

2. y=sinx және y=cosx функциаларын қатарға жіктеу f(x)=sinx функциясын қарастыралық. Туындыларды тапсақ:

x=0, болғанда f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’^v(0)=-1

Сөйтіп, х=0 нүктесінде f⁽ⁿ⁾(x) функциясының мәндері n-нің жұп және тақ мәндерінде алма кезек 1 мен -1.

Демек f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=(-1)ⁿ

Бұл жерде нөмерлеуді 0-ден бастаймыз. Жоғарыдағы жазылған теңдіктерден барлық -∞<х<∞ үшін туындылардың шектелгендігін аңғарамыз. Олай болса, sinx функциясы үшін төмендегідей жіктеу шығады.

13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

Екі еселі интеграл. Негізгі қасиеттері

z=f(x,y) D облысында анықталған D:D_i i=1̅,n̅ D_i M(x_i,y_i) f(x_i,y_i) ΔS_i–D_iоблысының ауданы, ∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i g-облысы бойынша интегралдық қосындысы. lim_n→∞∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i =∫_D∫f(x,y)dS . Егер f(x,y) үшін интегралдық қосындының n→∞ (maxdi→0) шегі D облысын n бөлікке бөлу әдісіне тәуелсіз ж/е осы облыстан M(x_i,y_i)нүкелерін таңдап алу әдісіне тәуелсіз бар болса онда осы шекті f(x,y) ф/ң D облысы бойынша екі еселі интегралы д.а. мұндағы f(x,y) интегралдық ф/я,dS- бөліктің ауданы. z=(x, y) D олысында шенелген болуы қажеттң ғана .TH:z=(x, y) D олысында үзіліссіз болса онда функция облысы интегралданады, яғни екі еселі интегралы бар. Дарбу ережесі: lim_n→∞(S-s)=0 Қасиеттері:

1.∫∫_D kfdS=k∫∫_DfdS 2.∫∫_D(f₁±f₂)dS=∫∫_D f₁dS+∫∫_D f₂dS

3. D=D₁∩D₂→∫∫_Df(x,y)dS=∫∫_D1f(x,y)dS+∫∫_D2f(x,y)dS

4.f(x,y)>0→∫∫_Df(x,y)>0 f₁≥f₂→∫∫_Df₁≥∫∫_Df₂

5.m≤f(x,y)≤M (облысында үз/сіз болса ең үлкен ең кіші мәні табылады)mS≤∫∫_Df(x,y)dS≤MSЕкі еселі интегралды бағалау

6. ∫∫_Df(x,y)dS=f(x₀,y₀)S f(x₀,y₀)=1/2∫∫_Df(x,y)dS

Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру

 Егер функциясы V тұйық облысында үзіліссіз болса, ал

(1)

функцияларының UVW кеңістігіндегі Т тұйық облысында үзіліссіз дербес туындылары бар болып және осы облысты XYZ кеңістігіндегі V облысына бірмәнді бейнелесе, онда келесі теңдік орындалады:

(2)

мұндағы - якобиан бейнелеуі

14 Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.

Бірінші түрдегі қисық сызықтыинтеграл - бір айнымалы Риман интегралының жалпылауы. Бір айнымалы Рмиан интегралының S-тіліндегі анықтамасы: функциясы сегменінде анықталсын. Егер қасыбір нақты сан мен әр оң саны үшін _{n - 1} …, N) болған сайын

<

болатындай оң саны табылса, онда функциясы сегменінде интегралданады, санын оның интегралы деп атайды да, ол үшін

(1) Белгілеуі қолданылады.

Қисық ұғымын қолданып, бұл анықтаманы былай жалпылауға болады. үзіліссіз дифференциалданатын жай қисығы беріліп, : Жиынында нақты мәнді функциясы анықталсын. Әр үшін қисығының нүтелер арасындағы бөлігінің ұзындығы

(2) болады.

сегменің _n бөлшектеуі берілсін. Онда үшін айырымы қисығының _{- 1} және . нүктелерін жалғайтын бөлігінің ұзындығы болады. Осы дайындықтан кейін, мақсатымыз болатын анықтамаға тікелей көше аламыз. Егер қасыбір нақты сан мен әр оң саны үшін _{n - 1} …, N) болған сайын

<

болатындай оң саны табылса, онда функциясы қисығында интегралданады, ал санын оның интегралы дейді де

(3)белгілеуі қолданылады.

(3) интегралы бірінші түрдегі қисықсызықты интеграл деп атайды. Егерде сегменінде анықталған функциясын жазықтықта жатқан қисықтың бейнесі болатын сегменінде анықталған функция ретінде қарастырсақ, онда (3) анықтамасы (1) анықтамасына айналады. Сөйтіп бірінші түрдегі қисық сызықты интеграл анықтамасы бір айнымалы функцияның интеграл анықтамасының жалпылауы болады.

Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Ω облысы беріліп, Р (x,y) және Q(x,y) функциялары Ω облысында анықталған және үзіліссіз болсын.

γ (t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b) қисығы үзіліссіз дифференциалданып, әр t [ a, b ] үшін γ (t) C Ω кірістіруі орындалсын.

w(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy дифферианциалдық формасының γ қисығы бойынша екінші түрдегі қисықсызықты интегралы деп

(1)

саны аталады да, ол не қысқаша (2*)

түрлерінде белгіленеді. Енді екінші түрдегі интегралдың кейбір қасиеттерін атап өтейік.

. Қойылған шарттар (1), демек, (2)-(2*) интегралының бар болуын қамтамасыз етеді.Расында да,қойылған шарт бойынша γ қисығын анықтайтын x(t) және y(t) функциялары [a,b] cегментінде үзіліссіз дифференциалданады, демек, x’(t) және y’(t) функциялары сол сегментте үзіліссіз, бұған қоса Р(x(t),y(t)) және Q(x(t),y(t)) функциялары үзіліссіз функциялардан құрылған күрделі функциялар ретінде [a,b] сегментінде үзіліссіз. Сондықтан (1) интегралы үзіліссіз функциядан алынған интеграл ретінде бар болады.

2 . Егерде қисығы γ қисығынан параметрді алмастыру арқылы алынса, онда (2*) интегралымен бірге (3) Интегралы да бар болады.γ мен бірыңғайлы бағытталған жағдайда, яғни t’(u) > 0 болғанда = (4)

Ал қарама-қарсы бағытталған жағдайда, t’(u)<0 болғанда = (5) тендіктері орындалады. Расында да, x(t (u)) = (u), y(t(u)) = (u)(6) болсын. Онда қисығы (u) = ( дәл озі болады. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша ’(u) = x’ (t(u)) * t’ (u), ’(u) = y’ (t(u)) * t’ (u)(7) Демек, (u) және (u) функциялары [ ] сегментінде үзіліссіз дифференциалданып, 1 б/ша (3) интегралы бар болып, (u)= P( (u), (u)) ’ + Q ( (u), (u)) (u) (8) = (u)du(9)болады.Сонымен қатар (1) интегралында t = t(u) алмастыруын жасағанда,интеграл астындағы функция

f(u)=P(x(t(u)), y(t(u))) x’(t(u))t’(u)+Q(x(t(u)),y(t(u)))y’(t(u))t’(u) (10)

функциясына алмастырылады.(10)(7)(6)(8) бойыншаf(u)= (u). (11)

γ мен бірыңғай бағытталғандаt( )=a,t( )=b болып, (4)теңдігіне:

= ,

Ал γ мен қарама-қарсы бағытталса t( )=b, t( болып,(5)-ке келеміз:

.

Сөйтіп, екінші түрдегі қисықсызықты интеграл, бірінші түрдегідей емес, қисықтың бағытталуына тәуелді екендігі анықталады.

3 (қисықсызықты интегралдың сызықтық қасиеті):

= +

4 (қисықсызықты интегралдың аддитивтік қасиеті): егерде a < c < b үшін (t) = γ (t) (a ≤ t ≤ c ) және (t) = γ (t) (c ≤ t ≤ b ) болса, онда

.

Yktior