3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.

Анықтама: - ықтималдық кеңістік . А – оқиғасы берілген .

Онда 1)

2) ø

шарттарын қанағаттандыратын үшін

(1)

теңдеуі орындалады.(1)- толық ықтималдықтар формуласы .

Жоғарыдағы шарттар орындалғанда (1) формуласымен қатар келесі формулада орындалады

(2)

(2) – Байес формуласы .

Есептер шығарғанда сынақ және А оқиғасы есептің шарттарында беріледі. гипотезаларын сынақтың берілгеніне қарай өзіміз таңдаймыз.

1-мысал.

25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ” . Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы .

Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

Гипотезалар ( көмекші оқиғалар ):

={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }

- ?

Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз .

, , ,

2-мысал.

Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.

Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады

4. Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар.

Н₁ оқиғасының ықтималдығы Р(Н₁)= , ал оның шартты ықтималдығы Р_А(Н₁) болca.

Мысал: Сынақ - 36 картадан кездейсоқ біреуін таңдау .

1) таңдалған карта 6-лық болу ықтималдығын табу керек,

2) таңдалған карта қара түсті екені белгілі болса, онда оның 6-лық болу ықтималдығын табу керек.

А={ таңдалған карта 6-лық болуы}

В={ таңдалған карта қара түсті болуы}

Р(А) = Р_В(А) , яғни А оқиғасының шартты, шартсыз ықтималдықтары тең болды.

Анықтама: (Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А және В – оқиғалары беріліп Р(В)>0 болсын. Егер

Р(А) =Р_В(А) болса, онда А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз дейді .

Мысал: А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-дан тәуелсіз екенін дәлелдеу керек.

Сонымен, Р_В(А) = P(A) екендігі беріліп тұр. Бұдан, анықтама бойынша Р_В(А) = екендігін ескерсек,=> =Р(B)

Р_А(В)= Р(В) (**)

Бұдан тәуелсіздік ұғымы симметриялы екені шығады .

Р(АВ) = Р(А)∙Р(В) теңдігіне (*),(**) теңдіктері эквивалентті .

Тәуелділіктің эквиваленттік анықтамасын келесі түрде де беруге болады .

(Ω,F,P)- ықтималдық кеңістік . А және В – оқиғалары берілген. Егер Р(АВ) =Р(А)∙Р(В) орындалса , онда А , В оқиғалары ӛзара тәуелсіз деп аталады.

5. Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы.

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі

Ω={0;1}

P(1)=p (1)

P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)

p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

ᴒ={ω=(a_1… a_n):a_i=0 немесе 1}

P(ω=( a_1, a_2… a_n))=P(c):..P (a₂):..P(a_n)=p^a₁^+a₂^+…a_n∙q^n-(a₁^+a₂^+…a_n) (2)

(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.

Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=( элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда ω= (a_1… a_n) (3) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін

( n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)

Мысал.

Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру

Ω={0;1}

«1» - «герб»

«0» - «цифр»

Қайталау саны n=5

Табыстар саны

Онда (3) бойынша P₅(3)=C³₅∙( )³∙ ( )⁵= =

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу ( оқиғасы) ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

Анықтама. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ықтималды табыс саны деп аталады.

Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда , мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. және .

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту

в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.