§ 3.6. Keplerning umumlashgan 3-qonuni

Biror  burchak tezlik bilan harakatlanayotgan Quyoshdan r masofada joylashgan sayyoraning tezlanishi quyidagicha aniqlanadi:

. (3.5)

Ikkita jism bir-birining atrofida harakatlanayotgan bo‘lsin. M massali markaziy jism (Quyosh) atrofida aylanayotgan m massali jismning (sayyora) nisbiy tezlanishi

(3.6)

bo‘lib, va tezlanishlar, aslida bir tezlanishning ikki xil ifodasi, binobarin . Shuning uchun yuqoridagi ikkita ifodani tenglab

(3.7)

yozish mumkin.

Bundan ma’lum kattaliklarni tenglikning bir tomonda qoldirsak:

(3.8)

Bunda biror jism ellips bo‘yicha harakatlanayapti deb qaralsa, ni ellipsning katta yarim o‘qi bilan almashtirish zarur bo‘ladi, ya’ni

(3.9)

Buni va jismlar atrofida, va katta yarim o‘qli ellipslar bo‘yicha harakatlanuvchi va massali jismlar uchun yozilsa:

; (3.10)

bo‘ladi, bu erda va ularning aylanish davrini xarakterlaydi. Oxirgi ifodadagi tenglamalarning o‘ng tomonlari tengligidan chap tomonlarini ham tenglab yoza olamiz:

yoki

. (3.11)

Topilgan ushbu ifoda Kepler uchinchi qonunining umulashgan ko‘rinishini ifodalaydi. U Nyuton - Kepler formulasi ham deyiladi. Xususiy holda va jismlarni Quyosh atrofida aylanuvchi sayyoralar deb qaralsa, - Quyosh massasini ifodalab, oxirgi tenglikning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

(3.12)

Agar ushbu ifodada va lar Quyosh massasi oldida juda kichikligidan, tashlab yuborilsa () u Kepler tomonidan aniqlangan

(3.13)

formulaga keladi.

Nyuton-Kepler formulasi qator masalalarni yechishda qo`llaniladi. Masalan, osmon jismlarining massalarini aniqlashda foydalaniladi:

,

T₁ va T₂ - Quyosh atrofida aylanuvchi ixtiyoriy ikki sayyoraning siderik davrlari, M_„ - Quyosh massasini, m₁ va m₂ - sayyoralar massalari, a₁ va a₂ lar esa ular orbitalari katta yarim o‘qlari.

Massani aniqlash uchun topilishi mo‘ljallangan sayyoraning yo‘ldoshi bilan Yer yo‘ldoshining harakati (davrlari va orbitalarining katta yarim o‘qlari) solishtiriladi, ya’ni

bunda T₁ va T_s – sayyoraning va Yer yo‘ldoshining aylanish davrlarini, m₁ va m_c - ular yo‘ldoshlari massalarini, a₁ va a_s esa, mos ravishda, orbitalari katta yarim o‘qlarini ifodalaydi.

Ko‘p hollarda sayyora massasiga nisbatan yo‘ldoshining massasi juda kichik bo‘lganidan m₁<<M; m_s<< deb olish mumkin, u holda sayyora massasi

(3.14)

formuladan topiladi.

§ 3.7. Uch jism masalasi va uning chegaralangan holi

Koinotning hech qaysi qismida biror jism harakati to`la va aniq ravishda faqat ikki jism masalasi doirasida ifoda etila olinmaydi. Hamma gap ushbu aniqlikda va qanday vaqt muddati qaralayotganiga bog`liq, ya`ni u taqribiy bo`lsa-da kuzatuv ma`lumotiga biroz yaqinroq holi ham ba`zan amalda yetarli bo`lishi mumkin. Lekin juda ko`p hollarda ushbu ikki jismga qaysidir darajada ta`sir etayotgan uchinchi, bu ham yetmasa to`rtinchi jism ta`siri hisobga olinishi mumkin. Masalan, Quyosh sistemasi evolyutsiyasini o`rganish uchun 10 jism (Quyosh va 9 ta sayyora) masalasi qaralsa, ulardan biror sayyora orbitasi evolyutsiyasi o`rganilayotganda esa nisbatan kamroq jismlar (o`zi, uning yaqin qo`shnilari, Quyosh va bir-ikkita gigant sayyora) masalasi yechilishi yetarlidir.

Fazoda faqat uchta jism qaralib boshqa jismlar yo`q (yoki ta`siri sezilmas) degan farazda ularning dinamik evolyutsiyasini o`rganish – uch jism masalasi deb yuritiladi. Masalan, biror kometaning Quyosh sistemasidagi orbitasini o`rganish uchun dastlab o`zi, Yupiter va Quyosh bir masala sifatida qaraladi. Agar Oy harakati o`rganilmoqchi bo`lsa, masalaga Yer va Quyoshni kiritilishi dastlabki yechimni yetarli darajada bera oladi. Uch jism holidan boshlab bu masalalarning umumiy yechimi yo`q. Jismlar soni qanchalik ko`p bo`lsa, masala yechimi shunchalik qiyinlashib borib, aniqlik nisbatan kamayishi turgan gap. Shu sababli bunday masalalarni xususiy, amalda qo`llash yo`llari katta axamiyatga ega. Shulardan biri – uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasi bo`lib, u osmon mexanikasida keng qo`llaniladi. Bunda uch jismdan birining massasi boshqalarinikiga nisbatan keskin kichik, qolgan ikki jism esa massalar umumiy markazi atrofida aylanaviy orbitalar bilan harakat qiladi deb olinadi. Ushbu shartlar, masalan kosmik apparat Yerdan uchirilib Oy tomon harakat qilayotgan paytda ancha qo`l keladi, chunki Oy orbitasi ekssentrisiteti juda kichikdir (0.055 ga teng). Quyosh sistemasidagi biror asteroidning uzoq muddatdagi orbitasi qaralayotganda Quyosh va Yupiter olinib, asteroid massasi hisobga olinmasa ham bo`ladi (Yupiter orbitasi ekssentrisiteti 0.048 ga teng).

Sayyora Quyosh ta’sirida harakatlanganida edi, uning traektoriyasi aniq Kepler qonuni bo‘yicha kuzatilar edi. Bunday harakat, ikki jism masalasi echimiga mos kelib, u chetlantirilmagan harakat deyiladi. Biroq, birorta ham sayyora faqat Quyoshninggina ta’sirida harakatlanmay, unga boshqa osmon jismlari ham ta’sir etadi va oqibatda, uning traektoriyasi aniq ellips, aylana, parabola yohud giperbola bo‘ylab harakatlana olmaydi. Jismlar harakatida Kepler qonunidagi chetga chiqish – chetlanishlar deyilib, uning haqiqiy harakati – chetlantirilgan harakat deb ataladi.

Yuqorida ta’kidlaganimizdek, sayyoralarning massalari Quyosh massasi bilan solishtirilganda juda kichik bo‘lganidan, ularning harakatidagi biror jismga beradigan chetlanishlarini hisoblash ham juda mushkul.

3.5-rasm

Quyosh atrofida harakatlanayotgan sayyoraning harakatiga sayyora tomonidan beriladigan chetlantiruvchi kuch va tezlanishini ko‘raylik (3.5-rasm). Bunda har uchala jism butun olam tortishish qonuni bo‘yicha ta’sirlashib, Quyosh birinchi va ikkinchi sayyoralardan va yo‘nalishlarda quyidagi tezlanishlarni oladi:

, (3.15)

sayyoraga Quyosh tomonidan ta’sir etuvchi kuchning yo‘nalish bo‘yicha beradigan tezlanishi

. (3.16)

ga ikkinchi sayyoraning yo‘nalishda beradigan tezlanishi esa

,

bu sayyoraning Quyoshga yo‘nalishda beradigan tezlanishi

.

Quyosh oladigan tezlanishni birinchi sayyoraga ko‘chirsak, u

bo‘lib, yo‘nalishga paralel bo‘ladi. va lar - sayyorani keplercha orbitadan chetlantiruvchi kuchlarning tezlanishlari bo‘ladi. Bundan ko‘rinishicha, chetlantiruvchi kuch, chetlanishni keltiruvchi jism tomonidan sayyoraga va Quyoshga ta’sir kuchlarining geometrik ayirmasidan iborat.

Chetlantiruvchi tezlanish umumiy holda chetlantiruvchi jismga, ya’ni ikkinchi sayyoraga tomon yo‘nalmaydi. Faqat birgina holda, Quyosh va chetlantiruvchi jism undan bir tomonda, bir to‘g‘ri chiziqda yotgandagina, chetlantiruvchi jism aniq chetlantiruvchi jism tomon yo‘naladi.

Ikki jism masalasidek uch va undan ortiq jismlar masalasida quyidagi tenglamalar sistemasini yechishimiz lozim:

(3.17)

bu yerda m_i – i- nchi jism massasi, r_i- jismlargacha bo’lgan masofa radius vektorlari.

Tenglamaning o’ng tarafida barcha jismlarning gravitatsion kuchlari joylashgan. Bu tenglama 2 ta jism uchun analitik yechimga ega, undan ko’proq holatlar uchun xususiy yechimlar mavjud. Umumiy holda, umumiy energiya, umumiy impuls va umumiy moment integrallari oson topilishi mumkin.

3.6-rasm.

Uch jism masalasi bir nechta qiziqarli maxsus xususiy hollarga ega. Ma’lum bir holatlar uchun uchinchi jism qolgan ikki jismga nisbatan tinch holatda qolishi mumkin. Bunday nuqtalar Lagranj nuqtalari deyiladi va ular 5ta. Bu nuqtalar ichidaL4 va L5 lar nisbatan barqaror nuqtalardir. Shuning uchun, bu nuqtalarga yetib kelgan asteroidlar barqaror bo’lib, fizik bog’langan guruhlarni tashkil qiladilar. Bu guruhlarning nomi Troyanlar va Yunonlar deyiladi.

Uch jism masalasi umumiy holda yechimga ega bo’lmay, xususiy hollarda masala fizik jihatdan yetarlicha tahlil qilinishi mumkin. Shulardan biri uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasidir.

Uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasida massalari m₁ va m₂ bo`lgan jismlar inersiya markaziga nisbatan olingan (x,y) koordinatalar sistemasida harakatlarini qaraymiz. Bu holda – vektor-masofa, harakat tenglamasi esa: . Bunda – sistemaning gravitatsion potensiali, n - m<sub>1</sub> va m<sub>2</sub> massalarga ega bo’lgan jismlar sistemasining o`rtacha harakat miqdori, tenglamadagi oxirgi xad – Koriolis tezlanishidir. Lagranj ushbu differensial tenglamaning 5 ta xususiy yechimlarini topgan. Bu yechimlarga (x, y) tekisligida 5 ta mos nisbiy muvozanat nuqtalari to`g`ri kelib, ular Lagranj nuqtalari deyiladi. Bulardan uchtasi (L₁, L₂, L₃ lar) m₁ va m₂ jismlarni tutashtiruvchi to`g`ri chiziqda joylashgan. Qolgan ikkitasi (L₄, L₅) bu to`g`ri chiziqning yuqori va pastki yarim tekisliklarida bittadan shunday o`rin olganlarki, qaralayotgan uchta jism ikkita teng tomonli uchburchaklarni hosil qiladi. Boshqacha aytilganda, agar uch jism doimo bir to`g`ri chiziqda joylashib tura olsa, bu hol uchun tenglama yechimi aniq ma`lum bo’ladi va sistema barqaror deb xisoblanadi. Yoki, agarda ularning nisbiy vaziyatlari teng tomonli ikkita uchburchakni tashkil etsa, bu hol ham barqaror yechimiga egadir. Ushbu oxirgi yechimning Quyosh sistemasiga qo`llash maqsadida uning eng massiv ikkita jismi – Quyosh va Yupiterni olib, bu jismlar orasidagi masofaga mos kelgan ikkita teng tomonli uchburchaklarni chizsak, bunda kuzatuvlargan uchburchaklarning uchinchi uchlarida "troyanlar" va "greklar" nomli asteroidlarning ikki guruhi joylashgani aniqlandi. Yer va Oy masofasiga mos uchburchak uchlari kuzatilganida, bu yerlarda chang bulutlari mavjud ekani aniqlandi.