41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.

Говорят, что в V занадо векторное поле, если каждой т. поставлен в соответствие некоторый вектор. Физ. Векторные поля не зависят от выбора СК.

Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.

Поток векторного поля. Дивергенция.

Дивиргенцией векторного поля называется скалярная ф-ция.

Формула Остроградского:

характеризует плотность источников поля в данной точке. Не зависит от выбора СК.

42. Циркуляция и ротор векторного поля.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2называется циркуляциейвдоль кривойL в направлении . Если-силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль путиL.

(формула Стокса).

43. Операторы Гамильтона и Лапласа.

Опера́тор Лапла́са (Лапласиан) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию

В сферических координатах:

или

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом , то есть скалярное произведение оператора набла на себя.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами

в n-мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он умножается.

Если умножить вектор набла а скаляр φ, то получится вектор

который представляет собой градиент функции φ.

Если вектор набла скалярно умножить на вектор , получится скаляр:

то есть дивергенция вектора.

Если умножить навекторно, то получится ротор вектора.

Также, произведение есть оператор Лапласа, и обозначается Δ. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

44 Потенциальное векторное поле и его свойства.

называется потенциальным в области G, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U(M). ФункцияU(M) – потенциал векторного поля .;;;;;

Т.о. в потенциальной поверхностно односвязной области G поле обладает следубщими свойствами:

1) циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

2) Для любых т. А,В из области G циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой АВ, а зависит только от выбора А и В.

3) Потенциальное поле является безвихревым

- необходимое и достаточное условие потенциальности поля в поверхностно односвязной области.

Гармоническое векторное поле.

гармоноческое, если оно является одновременно потенциальным и сопеноидальным.

; ;