36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
Механический смысл КРИ-2:
(М)
– вектор силы;L=AB;
Работа силы по перемещению вдольL.
Если
(М)
– переменная сила, аAB–
кривая, то:
-
настолько малы, что перемещение на
кусочек по направлению совпадает с
единичным касательным вектором.
-произвольная
точка.
(
)
– постоянная сила.
=(
(
),
)=(
(
),
)
!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линииL.
Скалярная форма кри-2
Вычисление КРИ-2
,
Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.
37. Формула Грина.
Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.
Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l , лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.
Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.
Например: круг, прямоугольник, кольцо.
Теор. Грина: пусть
P(x,y),
Q(x,y)
и
и
непрерывны в простой областиD
тогда
где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.
Док-во
Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.
Для I2 – аналогично.
Формула Грина имеет место для любой простой области.
Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».
38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1)
,
гдеL
– любой замкнутый контур Д.
2)
не
зависит от путиAB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:
где
.
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ:
;
{
;
}
;
не зависит от пути.
39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1)
,
гдеL
– любой замкнутый контур Д.
2)
не
зависит от путиAB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:
где
.
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ:
;
{
;
}
;
не зависит от пути.
40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Пусть V
– некоторая область в пространстве.
Говорят, что в этой области задано
скалярное поле, если каждой т.
поставлено
в соответствие некоторое числоU(M)
(пример – поле температур, освещенности).
Скалярное поле не зависит от выбора
системы координат. Поверхность или
линия, на которой U(M)
принимает постоянное значение называется
поверхностью уровня скалярного поля.
Пусть U(M)
– некоторое скалярное поле.
-
единственный фиксированный вектор.
-фиксированая
точка.
;
;
Если
,
то он называется производной скалярного
поляU(M)
по направлению
в точке
.
lnH-скорость
изменения ф-ции U(m)
по направлению
в точке
.
;
;
;
;
;
;
;
принимает наибольшее
значение при
,
т.е. в направлении вектораgradU
в т.
gradU указывает направление наибольшего роста поля в данной точке. | gradU| - скорость роста ф-ции U в данном направлении. Вектро gradU не зависит от выбора системы координат. Grad направлен по поверхности уровня в данной точке.