5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда

На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или

;

Док-во:

d(uv)=vdu+udv;

6. Интегрирование рациональных функций.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) ,3) ,4)

1)

2)

3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

7. Интегрирование тригонометрических функций.

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1. R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;

2. R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;

3. R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

1. m,n Z, m,n >= 0;

1. Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;

2. Оба нечетные или четные -

2. m,n Q

это дифференц. Бином

- для гиперболических функций аналогично

Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…

8. Интегрирование иррациональных функций.

; ; n1,n2… N, m1,m2… Z

, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …

, тогда

Вид интеграла	Тригоном. подстановка	Иррацион. подстановка

m,n,p Q; a,b R

1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби

2)

3) , где s- знаменатель дроби

Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

9. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции.

y=f(t), кот определ на [a,b].

а<b, τ_n={x₀, x₁, x₂,..,x_n |a=x₀<x_1...<x_n=b|}

Δx_k=x_k-x_k-1-длина отр.[x_k-1,x_k], к=1,n.

λ=max ∆x_k – диаметр разбиения 1≤k≤n

k€ [x_k-1,x_k], k=1,n,

σ_n=f(ε₁)Δx₁+ f(ε₂)Δx₂+..+f(ε_n)Δx_n=∑f(ε_k)Δx_k Интегральн.сумма.

Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τ_n [a,b] и выбора промежуточных точек ε_k то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).

Е сли этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].

R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].

Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.

Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.

A B; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.

Ограниченность ∫-ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τ_n найдется часть от k [x_k-1,x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε_k€[x_k-1,x_k], таким обр, чтобы |f(ε_k)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_x→0 _n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

 1, х – рацион.

D(x)=  0, х – иррац.

D(x) – огр. на [0,1]

ε _k-рац.

ε_k-ирррац

D(x) – не инт. по Р., но она огр.

Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

10. Свойства определенного интеграла

1. f(х)dх=0 2. dх=b – a; f(x)1

3. f(х)dх= - f(х)dх 4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

 a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]

| f(х)dх | |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a)

mf(x)M; x[a,b]

m dх  f(х)dхM dх

m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b

11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то  т. [a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)

Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; x[a,b] mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:

m(b-a) f(х)dхM(b-a), b-a>0

: (b-a) m( f(х)dх) / (b-a))M; ::= f(х)dх) / (b-a)

найдется такая , что f()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д.