- •1.Многочлены.
- •2. Рациональные дроби.
- •3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •6. Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •8. Интегрирование иррациональных функций.
- •11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменных в определенном интеграле.
- •13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •17. Ни-1
- •18. Несобственные интегралы второго рода.
- •19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •20. Частные производные .
- •21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •23. Неявные функции и их дифференцирование.
- •24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
- •29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
- •30. Криволинейный интеграл первого рода.
- •36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
- •Скалярная форма кри-2
- •37. Формула Грина.
- •38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
- •40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
- •42. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда
На Х существует , причем=u(x)v(x)- , или
;
Док-во:
d(uv)=vdu+udv;
6. Интегрирование рациональных функций.
Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.
Типы дробей:
1), 2),3),4)
1)
2)
3)
4)
- рекуррентная формула
Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.
7. Интегрирование тригонометрических функций.
tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.
; ;;
Специальная тригоном. подстановка:
R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;
R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;
R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;
Интегралы вида:
m,n Z, m,n >= 0;
Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;
Оба нечетные или четные -
m,n Q
это дифференц. Бином
- для гиперболических функций аналогично
Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…
8. Интегрирование иррациональных функций.
; ;n1,n2…N, m1,m2…Z
, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …
, тогда
Вид интеграла |
Тригоном. подстановка |
Иррацион. подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,n,p Q; a,b R
1) p Z, тогда , гдеs-общий знаменатель дроби
2)
3) , гдеs- знаменатель дроби
Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.
9. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции.
y=f(t), кот определ на [a,b].
а<b, τn={x0, x1, x2,..,xn |a=x0<x1...<xn=b|}
Δxk=xk-xk-1-длина отр.[xk-1,xk], к=1,n.
λ=max∆xk– диаметр разбиения 1≤k≤n
k€ [xk-1,xk],k=1,n,
σn=f(ε1)Δx1+f(ε2)Δx2+..+f(εn)Δxn=∑f(εk)Δxk Интегральн.сумма.
Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τn[a,b] и выбора промежуточных точекεk то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] отy=f(x).
Если этотlimсущ, тоy=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].
R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].
Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.
Геометр. смысл ОИ.y=f(x) неприрывна на [a,b].f(x)≥0.
AB; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.
Ограниченность ∫-ой ф-ции.
1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена.f(x) €R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].
Д-во: предположим, чтоf(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τnнайдется часть отk[xk-1,xk] на которомf(x) не ограничена. В этом случае можно выбратьεk€[xk-1,xk], таким обр, чтобы |f(εk)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечногоlimx→0n
Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.
1, х – рацион.
D(x)=0, х – иррац.
D(x) – огр. на [0,1]
εk-рац.
εk-ирррац
D(x) – не инт. по Р., но она огр.
Теорема 1:f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.
Теорема 2:f(x) кусочно-непрер. на [a,b]
Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.
Теорема 3: Ф-цияf(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …
10. Свойства определенного интеграла
1. f(х)dх=0 2. dх=b – a; f(x)1
3. f(х)dх= - f(х)dх 4.f(x)R[a,b]; Cf(х)dх=C f(х)dх=
=
5. f(x),g(x)R[a,b], тоf(x)+g(x)R[a,b]; (f(х)+g(x))dх=f(х)dх+g(х)dх
6. (аддитивность опред. ин-ла)
a,b,c f(х)dх=f(х)dх+f(х)dх
7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0,a>b f(х)dх=
8. Монотонность опред. инт.: Если f(x),g(x)R[a,b],f(x)g(x)x[a,b], то f(х)dх<g(х)dх,a<b
Док-во: g(x) –f(x)0x[a,b], 0(g(x) –f(x))dx=g(х)dх - f(х)dх
9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]
|f(х)dх ||f(х)|dх
10. (Оценки опред. инт.): Если mиM– наимен. и наибол. зн.f(x) на [a,b], тоm(b-a) f(х)dхM(b-a)
mf(x)M; x[a,b]
mdх f(х)dхMdх
m(b-a)f(х)dхM(b-a), a<b
11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], тот.[a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)
Док-во: f(x) непр. на [a,b],m–minзн.f(x) на [a,b],M–max;x[a,b]mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:
m(b-a)f(х)dхM(b-a), b-a>0
: (b-a) m(f(х)dх) / (b-a))M; ::=f(х)dх) / (b-a)
найдется такая , чтоf()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д.