17. Ни-1

Пусть f(x) определена на и инт на;, т.е.

Пусть . Если этотlimсуществует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.

;

1. Аддитивность : Если сходится, то,;

2. Линейность: Если сходится исходится, тосходится и

Вычисление и преобразование НИ-1.

Если f(x) непрерывна наиF– какая-то первообразная для ф-цииf(x), то

Интегрирование по частям.: ЕслиU,V– непрер. Диф-мы ф-ции на, то

Исследование на сходимость.

Т1: Пусть ф-ции f(x) иg(x), тогда еслии, то

сходится сходится

расходится пасходится

Предельный признак сравнения для НИ-1.

Т2: Пусть,;, тогда есликонечный, тоисходятся или расходятся одновременно.

При k=1при

Т3: Если исходится, тосходится.

Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится.

Если расходится, асходится, от- неабсолютно (условно) сходящийся

Главное значении.

,, Еслии сходится, тои

18. Несобственные интегралы второго рода.

f(x) определена на [a,b);;, т.е.

называется НИ-2 и обозначается

Если этот Limсуществует и конечен, то говорят, чтосходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1.}

1. Аддитивность

Если сходится, то,;

2. Линейность

Если сходится исходится, тосходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b);F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) иV(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.

Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ.N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ;(число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ., для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ., то сущ., причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

20. Частные производные .

Частная производная ф-ции в точкепо переменнойx называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точкеесли ее полное приращениеможет быть представлено в виде, где, А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке, тонепрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке, то

Док-во: ;;

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т., непрерывна в самой точке, то она диф. В точке.

Если дифф. В т., то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-циив т.

;

; ;