- •1.Многочлены.
- •2. Рациональные дроби.
- •3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •6. Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •8. Интегрирование иррациональных функций.
- •11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменных в определенном интеграле.
- •13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •17. Ни-1
- •18. Несобственные интегралы второго рода.
- •19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •20. Частные производные .
- •21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •23. Неявные функции и их дифференцирование.
- •24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
- •29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
- •30. Криволинейный интеграл первого рода.
- •36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
- •Скалярная форма кри-2
- •37. Формула Грина.
- •38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
- •40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
- •42. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
30. Криволинейный интеграл первого рода.
1). ;- диф-ма на [a,b];
; L: x=g(y);
;
2). ;x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ;L:
;
3). ;;L:
4). ;;L: ;
; ;
31. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.
; ;
y-трапецевидная область Д.
x-трапецевидная область Д
Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.
; ;
для y-трапецевидной области
для x-трапецевидной области
Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.
32. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
(*)
Свойства
x(u,v),y(u,v) – взаимно однозначны
x(u,v),y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка
P1: x(u,v), y(u,v) P2: x(u+∆u,v), y(u+∆u,v)
I– Якобиан(Якоби)
Модуль I– коэффициет растяжения площади в т. с координатамиuиvпри отображенииDнаD’.
Вычисление в полярной сист координат. ,
a)
b)
c)
33. Тройной интеграл.
: ,z меняется от поверхности до поверхности.
Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.
Замена переменных в тройном интеграле.
, где |I| - модуль Якобина.
Геометрический смысл: |I| -коэффициент растяжения объёма при отображении области V на область V’
В цилиндрических координатах:
В сферических координатах:
34. Поверхностный интеграл первого рода.
, -гладкая(в каждой точке существует касательная плоскость). Пустьтакова, что прямая параллельнаяOZ пересекает её не более чем в 1-ой точке. Тогда z=f(x,y);
;
Примечание: Можно проецировать и не на поверхность XOY. Например: x= (y,z);
35. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.
Векторная ф-ция 3х переменных x,y,z, определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R называются координатами . Фигура Ф называется ориентированной, если в каждой ее точке М задан некоторый вектор, характеризующий эту фигуру. Динияназывается ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения.
Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.
1). ; 2).; 3).; 4).
5). ;n-я интегральная сумма для векторной ф-ции a(M) по ориентированной с помощью вектора P(n) фигуре Ф. ; 6). (*)
Если (*) существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по орентированной фигуре Ф от векторной ф-цииa(M).
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R)
Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.
Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.
Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.
1). ; 2).,c=const
3). ; 4).