2.Теоретико-методичні основи ознайомлення з довжиною, способів її вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними

Для формування уявлень молодших школярів про довжину використовується така система вправ: 1) вправи, основне призначення яких полягає у формуванні уміння виділяти предмети, що мають лінійну протяжність та порівнювати їх за цією властивістю, наприклад: який олівець довший?, яке дерево нижче? тощо; 2) завдання на порівняння смужок паперу, які спрямовані на формування умінь проводити порівняння за довжиною з допомогою накладання; (відрізки на площині повинні розміщуватися і вертикально, і горизонтально, і похило, і бути паралельними між собою, і бути не паралельними, і мати довжини, які легко порівнювати, і бути такими, щоб порівняння було провести важко. Сказане ілюструється даними таблиці № 1.

Таблиця № 1.

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

3) вправи на порівняння довжин відрізків накладанням, на око або на порівняння одиниць вимірювання, основне призначення яких полягає у формуванні поняття довжини та умінь проводити вимірювання; 4) завдання, в яких потрібно визначити довжину заданого відрізка, які поряд з формуванням вимірювальних навичок сприяють формуванню поняття довжини; 5) вправи на побудову відрізків, призначення яких в тому, щоб формувати креслярські навички, уміння вимірювати довжину та сприяти формуванню уявлень про довжину; 6) завдання на розпізнавання відрізків, з допомогою яких у дітей формується уміння виділяти об’єкти, що мають властивість лінійної протяжності; 7) вправи на визначення довжини ламаної чи периметра многокутника, які формують як вимірювальні навички, так і поняття про довжину; 8) завдання на перетворення складених іменованих чисел у прості і навпаки, основне призначення яких полягає у засвоєнні співвідношень між одиницями вимірювання довжини та у формуванні уявлень молодших школярів про довжину відрізка; 9) розв'язування текстових задач, пов’язаних з відстанню, швидкістю, часом, які опосередковано формують уявлення про довжину; 10) вправи на виготовлення моделей одиниць вимірювання довжини (1 см, 1 дм, 1 м) з наступним використанням цих моделей для проведення вимірювань чи побудови геометричних фігур, які спрямовані на формування реальних уявлень про одиниці вимірювання довжини, креслярських умінь і на формування поняття про довжину; 11) знайомство з речами, які формують реальні уявлення про 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км тощо.

Для формування уявлень молодших школярів про довжину та процес її вимірювання у методиці виділити три етапи оволодіння основними вимірювальними знаннями, вміннями і навичками. Ці етапи такі:

1) вимірювання довжини відрізка за допомогою набору моделей сантиметра (завдання, в яких слід виміряти довжину відрізка за допомогою моделі одиниці вимірювання, наприклад: використовуючи модель сантиметра, виміряй довжину заданого відрізка);

2) вимірювання довжини відрізка масштабною лінійкою без цифрової шкали (вправи, в яких довжину заданого відрізка вимірюють спеціальною лінійкою з поділками без цифрового їх позначення);

3) вимірювання довжини відрізка масштабною лінійкою з цифровою шкалою (завдання на вимірювання довжин заданих відрізків за допомогою масштабної лінійки).

Ці прийоми формуються в процесі лабораторних робіт, що виконуються індивідуально кожним учнем під керівництвом вчителя.

Для успішної роботи на першому етапі у кожного учня повинен бути конверт з набором кількох великих різнокольорових смужок, і десяти невеликих смужок, які використовуватимуться як мірки, але які не обов'язково дорівнюють 1 см. Їх називають мірками, а з їхньою допомогою пропонується вимірювати довжину великих смужок: вкладаючи послідовно мірку у смужці одну біля одної, підраховують кількість мірок. За допомогою таких вправ з’ясовується практичне значення вимірювання, учні дістають реальні уявлення про сантиметр, формуються правильні уявлення про процес вимірювання довжини.

Для роботи на другому етапі формування вимірювальних навичок використовується спеціальна лінійка, яка може бути виготовлена з цупкого паперу або із звичайної масштабної лінійки, на яку наклеюють папір з сантиметровими поділками. Лінійку прикладають так, щоб одна з поділок лінійки співпадала з початком відрізка. Результат вимірювання визначають, підрахувавши число поділок лінійки від тієї, що співпадає з початком, до тієї, що співпадає з кінцем відрізка. Використання цього прийому дозволяє запобігти досить поширеним помилкам учнів, коли вони при вимірювання довжин відрізків не суміщають його початок з нульовою поділкою, а результат вимірювання зчитують навпроти кінця відрізка. Відсутність цифрових позначок на шкалі спонукає дітей точно суміщати початкову позначку, відлічувати кожну мірку й називати здобуте число.

На третьому етапі головну увагу слід приділити відпрацюванню операцій: суміщення початку відліку на лінійці з початком відрізка, який вимірюють; правильне спрямування погляду на шкалу лінійки.

Вводяться одиниці вимірювання величин за зразком у вигляді відповідної моделі. Аналіз методичної літератури дозволяє стверджувати про наявність двох методичних підходів щодо введення першої одиниці вимірювання довжини. Деякі методисти вважають, що першою одиницею вимірювання довжини, з якою слід ознайомити учнів, слід обирати 1 м. Свою думку вони обґрунтовують тим, що, по-перше, 1 м – це основна одиниця вимірювання довжини у системі «SI», по-друге, ця одиниця вимірювання найчастіше зустрічається у повсякденному житті дітей, по-третє, 1 м існує у вигляді окремого еталона, по-четверте, з допомогою 1 м легко показати сутність процесу вимірювання довжини. Разом з тим, за допомогою 1 м в умовах класу важко провести з кожним школярем достатню для формування уміння вимірювати довжину кількість вправ. Інша група методистів обстоює думку про необхідність ознайомлення учнів спочатку з моделлю 1 см. На їхню думку, це дасть змогу провести достатню кількість вимірювань в умовах класу, щоб сформувати уміння вимірювати довжину. Окрім цього будуть використовуватися життєві спостереження дітей. Вчителі можуть обирати будь-який з розглянутих варіантів. У підручниках з математики М.Богдановича реалізовано другий підхід. Принагідно зазначимо, що нам невідомі дослідження, які б з достатньою мірою обґрунтованості експериментально довели перевагу того чи іншого з наведених варіантів.

З іншого боку вчитель повинен знати, що експериментальними дослідженнями доведено: недоцільно поспішати з введенням загальноприйнятих одиниць вимірювання довжини. Це пояснюється тим, що з точки зору вимірювання довжини відрізка жодна з одиниць не має переваг перед іншими. Так, навіть у старших класах значна частина учнів не може дати відповіді на запитання: чи може довжина одного й того ж відрізка виражатися і числом 4, і числом 12? Причинами такого явища є, по-перше, недостатня сформованість уявлень про довжину, по-друге, неусвідомлення сутності поняття вимірювання довжини, по-третє, нерозуміння того факту, що вимога знайти довжину відрізка у сантиметрах, дециметрах, метрах тощо відрізняється від завдання знайти довжину даного відрізка тим, що право вибору одиниці довжини надається тому, хто вимірює. У результаті практичних робіт з вимірювання довжини різноманітними мірками учнів слід підвести до необхідності введення єдиної одиниці вимірювання довжини.

У концентрі "Десяток" програмою передбачено ознайомити учнів із узагальненим поняттям "довжина", яке стосується вимірювання відрізків, розташованих на площині в різних положеннях. Вчитель повинен повідомити тут такі положення: 1) протяжність предметів у будь-якому напрямку називають довжиною; 2) для вимірювання довжини існують спеціальні мірки. Ми ознайомимося із міркою 1 см: 1 см – це протяжність двох клітинок; 1 см – це ширина вказівного пальця учня; 1 см – це маленька смужка (модель якої вчитель демонструє); 1 см – це відстань на лінійці між двома сусідніми поділками.

│--│--│--│--│--│ │--│ │--│--│--│

0 1 2 3 4 5 1см 3см

Малюнок 1.

Вправи які допомагають одержати наочні уявлення про одиниці вимірювання довжини: 1) на визначення довжини за допомогою вкладання; 2) на визначення довжини за допомогою відкладання; 3) на визначення довжини за допомогою прикладання. Сутність кожного виду вправ ілюструється наступними малюнками №№ 2-4.

4 мірки – вкладання

М алюнок 2.

│---│---│---│---│

4 мірки – відкладання Малюнок 3.

│ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

4 мірки – прикладання

Малюнок 4.

Вправи на формування вимірювати довжину відрізка:

1) знайти довжину відрізка; 2) побудувати відрізок заданої довжини; 3) побудувати відрізок, який на n см довший, або коротший; 4) побудувати відрізок у n разів довший або коротший; 5) побудувати відрізок, що дорівнює сумі даних відрізків.

Ці задачі розв’язуються 2 способами, крім пункту 1-2

Перший спосіб – алгебраїчний (за допомогою арифметичних дій знайти довжину відрізка та побудувати його).

Другий спосіб – геометричний (накреслити даний відрізок та продовжити даний відрізок на n см, отримаємо заданий відрізок).

Далі діти ознайомлюються із дециметром, метром, кілометром, міліметром та співвідношенням між ними:

1 км = 1000 м 1 м = 100 см 1 м = 1000 мм

1 м = 10 дм 1 дм = 10 см 1 см = 10 мм

Учні виконують вправи на роздроблення – це вираження більших мір у менші.

Наприклад. Подайте 26 км 370 м у метрах.

1спосіб: 1 км = 1000 м. 26 км – це 26 тисяч метрів та ще 370, буде 26370м.

2 спосіб: 1 км = 1000 м. 100026+370=26370м

Перетворення – це вираження менших мір у більші.

Наприклад. Подайте 3790 см в метрах і сантиметрах.

1спосіб: 1 м = 100 см. У числі 3790 см стільки метрів, скільки в ньому всього сотень. У числі 3790 всього 37 сотень. Отже, 3790 см – це 37 м 90 см.

2 спосіб: 1 м = 100 см. 3790:100=37(ост.90). Частка вказує на метри – 37м, а остача - на сантиметри 90см.

Арифметичні дії додавання і віднімання простих і складених іменованих чисел, які допускають прийоми усних обчислень, розглядаються в концентрах «Десяток», «Сотня» і «Тисяча» наступним чином: 5 см + 3 см = 8 см; 1 дм 5 см + 2 см = 1 дм 7 см; 4 дм 7 см + 5 дм 8 см = 9 дм 15 см = 10 дм 5 см; 250 м + 370 м = 620 м тощо. У концентрі «Багатоцифрові числа» дії додавання і віднімання виконуються двома способами, кожний з яких представлено у таблиці № 4.

Таблиця № 4.

27 км 459 м + 9 км 780 м = 37 км 239 м
Операції над складеними іменованими числами	Операції над простими іменованими числами
27 км 459 м + 9 км 780 м 36 км 1239 м 36 км 1239 м = 37 км 239 м	27459 + 9780 37239 (м) 37239 м = 37 км 239 м
27 км 459 м - 9 км 780 м 17 км 679 м	27459 - 9780 17679 (м) 17679 м = 17 км 679 м

Множення та ділення таблиці № 5.Таблиця № 5.

32 км 475 м  3 = 97 км 425 м	32 км 475 м : 3 = 10 км 825 м
1 спосіб. 32 км 475 м = 32475 м 32475  3 97425 (м) 97425 м = 97 км 425 м	1 спосіб. 32 км 475 м = 32475 м 32475 3 -3 10825 (м) 24 -24 7 -6 15 -15 0 10825 м = 10 км 825 м
2 спосіб.	2 спосіб.
32 км 475 м  3 97 км 425 м	32 км 475 м 3 -3 10 км 825 м 24 -24 7 -6 15 -15 0

Зазначимо, що при діленні складених іменованих чисел, виражених в одиницях вимірювання довжини, зустрічаються два види ділення: на рівні частини та на вміщення. Відповідні види ділення представлені у правому та лівому стовпцях таблиці № 6. Дія, що представлена у лівому стовпці, має зміст дії ділення на вміщення і виражає кратне порівняння даних чисел. Частка є абстрактне, а не іменоване, число. При розв'язуванні задач на площу виникає можливість множення іменованого числа на іменоване. Наприклад, розв’язуючи вправу ”Знайдіть площу прямокутника, якщо а = 3 м 5 дм, в = 2 м 8 дм.”, учні міркують так: а = 35 дм, в = 28 дм, а тому S = 35  28 = 980 (дм²). Таблиця № 6.

1 км 375 м : 125 м = 11	34 км 725 м : 25 = 1389 м = 1 км 389 м
1375 125 -125 11 125 -125 0	34725 25 -25 1389 (м) 97 -75 222 -200 225 -225 0

При розв'язуванні задач на площу виникає можливість множення іменованого числа на іменоване. Наприклад, розв’язуючи вправу ”Знайдіть площу прямокутника, якщо а = 3 м 5 дм, в = 2 м 8 дм.”, учні міркують так: а = 35 дм, в = 28 дм, а тому S = 35  28 = 980 (дм²).