Примеры для самостоятельной работы
Найти площадь, ограниченную кривыми
1.
.
(
2.
.
(
)
3.
.
(
.
4.
.
(
.
5.
.
.
6.
.
.
7.
.
(
).
8.
(круг). (
).
9.
(кардиоида). Ответ.
.
10.
(астроида). Ответ.
11.
(кардиоида). Ответ.
.
12.
(спираль Архимеда). Ответ.
.
13.
(двухлепестковая роза). Ответ.
.
14.
(трехлепестковая роза). Ответ.
.
10. Вычисление объёмов
a) Объём ступенчатой фигуры.
Пусть некоторое
тело расположено между плоскостями
и
.
Станем рассекать его плоскостями,
перпендикулярными оси
.
Предположим, что все эти сечения
квадрируемы, обозначим
площадь сечения с
абсциссой
и будем считать функцию
непрерывной на
.
В этих предположениях тело имеет объём,
который вычисляется по формуле
. (1)
Действительно,
если нарезать тело на элементарные слои
толщиной
и каждый слой считать приближенно
цилиндром с площадью основания
и высотой
,
то элементарный объём (объём
-го
слоя) равен
,
а сумма таких объёмов
есть интегральная сумма для непрерывной
(следовательно, интегрируемой) функции
.
|
и сторона основания
.
Направим ось
от центра основания к вершине пирамиды,
тогда
.
В сечении, проведенном на расстоянии
от основания пирамиды перпендикулярно
оси, получаем квадрат со стороной
,
его площадь
.
Величину
найдём из подобия треугольников
и
:
.
Значит,
и по формуле (1) получаем знакомый
результат:
.
Пример 2. Вычислить объём тела, ограниченного трехосным эллипсоидом
.
На расстоянии
от центра эллипсоида в сечении,
перпендикулярном оси
,
имеем фигуру, ограниченную эллипсом
,
полуоси которого равны
,
.
Площадь этой фигуры равна (см. замечание
к примеру 7 предыдущего раздела)
,
.
По формуле (1) находим (с учетом симметрии
эллипсоида относительно координатной
плоскости
)
.
|
,
а секущая плоскость проходит через
диаметр
и составляет угол
с плоскостью основания.
Первый
способ. В сечении, проведенном на
расстоянии
от центра круга перпендикулярно оси
,
получаем прямоугольный треугольник
с катетами
и
,
где
,
.
Площадь этого треугольника
.
По формуле (1) находим
(с учетом симметрии тела относительно
сечения
)
,
где
– высота цилиндрического отрезка.
Второй
способ. В сечении, проведенном на
расстоянии
от центра круга перпендикулярно оси
,
получаем прямоугольник со сторонами
и
,
здесь
,
.
Иначе: если в первом случае мы нарезали
тело на треугольные слои перпендикулярно
оси
,
то теперь нарезаем его на прямоугольные
слои перпендикулярно оси
.
Площадь прямоугольного сечения
,
а объём тела равен
.
Третий способ. Попробуйте самостоятельно получить тот же результат, нарезая тело на тонкие сегменты перпендикулярно вертикальной оси.
b) Объём тела вращения.
Рассмотрим
кривую
функция
непрерывна при
и
.
Если ограниченную этой кривой криволинейную
трапецию вращать вокруг оси
,
получим тело вращения. В каждом его
сечении плоскостью, перпендикулярной
оси вращения, получаем круг радиуса
,
площадь которого
.
Значит, по формуле (1) объём тела вращения
равен
(2)
Пример 4.
Вычислить объём кругового конуса c
радиусом основания
и высотой
.
Совместим
ось
с осью конуса, считая вершину конуса
начальной точкой, тогда
.
Проведём через ось секущую плоскость
и запишем уравнение прямой – образующей
конуса, которая проходит через точки
и
:
.
По формуле (2) получаем знакомый результат:
.
Пример 5.
Вычислить объём тела, образованного
вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной дугами парабол
и
.
Параболы
пересекаются в точках
и
,
значит,
.
Обозначим
,
,
.
В соответствии с формулой (2) находим
.
Пример 6. Найти
объём общей части параболоида вращения
и сферы
.
Каждое из
этих тел есть тело вращения вокруг оси
.
Решая систему
получаем, что
пересечение данных поверхностей
происходит по плоскости
.
При
(от вершины параболоида до его встречи
со сферой) круги, лежащие в перпендикулярных
оси
сечениях тела, имеют квадраты радиусов
.
При
(от встречи параболоида со сферой до
высшей точки сферы) квадрат радиуса
равен
.
Поэтому
Если криволинейную трапецию, ограниченную
кривой
(функция
однозначна при
,
),
вращать вокруг оси
,
получим тело вращения, объём которого
определяется по формуле
(3)
Заметим, что при вычислении объёма
тело «набирается» из элементарных
цилиндров с радиусом
и толщиной
,
нанизанных на ось вращения
.
Тогда элементарный объём равен
и выражение
есть интегральная сумма для непрерывной
функции
.
А при вычислении объёма
тело «набирается» из концентрических
тонкостенных цилиндров с радиусом
,
высотой
и толщиной
.
Объём такого цилиндра можно приближенно
считать равным объёму прямоугольного
параллелепипеда с размерами
,
т.е. элементарный объём
,
тогда выражение
– интегральная сумма для непрерывной
функции
.
Пример 7. Вычислить объём тела,
полученного при вращении синусоиды
,
а) вокруг оси
,
б) вокруг оси
.
а) По формуле (2) находим:
.
б) По формуле (3) находим:
.
Пример 8. Вычислить объём тела,
полученного при вращении окружности
а) вокруг оси
,
б) вокруг оси
.
а) Задано уравнение окружности радиуса
со смещенным в точку
центром, т.е.
.
При вращении окружности вокруг оси
получаем шар, объём которого находим
по формуле (2):
|
|
б) Первый способ. При вращении
смещенной окружности вокруг оси
получаем тор. Полагая в формуле (3)
,
,
где
– однозначная функция (вращаем верхнюю
половину окружности), найдем объем
половины тора:
.
В силу
симметрии
Второй способ. Рассмотрим положительные
функции
и
(правая и левая половина окружности),
здесь
.
Если в формуле (2) поменять местами
переменные
и
,
то
