8. Длина дуги

a) Декартовы координаты.

Если гладкая кривая задана уравнением и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле

. (1)

Пример 1. Найти длину окружности .

В силу симметрии кривой достаточно вычислить длину дуги, содержащейся в первой четверти, т.е. . Найдем сначала производную и . Теперь по формуле (1) получаем знакомый результат:

.

Пример 2. Найти длину дуги цепной линии от точки с абсциссой до точки с абсциссой .

Найдем сначала и .

Здесь учтено основное тождество для гиперболических функций и неравенство . Значит, по формуле (1) получаем

.

(Напоминаем, что и ).

Пример 3. Найти длину дуги астроиды

Астроиду описывает точка окружности радиуса , катящейся без скольжения внутри окружности радиуса . В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно рассмотреть дугу, соответствующую изменению аргумента от до .

Сначала вычислим .

Значит, подынтегральная функция в формуле (1) имеет вид

,

а длина дуги астроиды равна .

b) Параметрическое задание кривой.

Если плоская гладкая кривая задана параметрическими уравнениями и функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , то длина дуги кривой определяется формулой

. (2)

Пример 4. Найти длину дуги одной арки циклоиды

.

Какие координаты имеет точка циклоиды, если дуга в четыре раза короче длины дуги всей арки? (Рисунок см. в пр.8 следующего раздела).

Вычислим сначала , тогда

.

Мы уже знаем, что для первой арки циклоиды параметр .

По формуле (2) находим

.

Здесь учтено, что для .

Значит, длина дуги равна . Найдем, какому значению параметра соответствует такая длина. Теперь в соотношении

неизвестным является верхний предел интегрирования. Поскольку все необходимые вычисления проделаны выше, запишем

.

Решая полученное тригонометрическое уравнение, получаем . Осталось вычислить координаты точки :

.

Пример 5. Найти длину кривой (развертка окружности или эвольвента), .

Вычислим , тогда подынтегральная функция принимает вид и по формуле (2) находим

.

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , определяется формулой

. (3)

Пример 6. Найти длину дуги одного витка винтовой линии

.

По формуле (3) при изменении параметра от до находим

c) Полярные координаты.

Если гладкая кривая задана уравнением и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (4)

Пример 7. Найти длину кардиоиды .

Кардиоиду описывает точка окружности радиуса , катящейся без скольжения снаружи по окружности такого же радиуса. Очевидно, полный оборот внешняя окружность делает при . Симметрия относительно оси абсцисс позволяет взять . Вычислим производную и запишем подынтегральную функцию

.

Теперь по формуле (4) находим

.

Здесь учтено, что , если .

Пример 8. Найти длину первого витка спирали Архимеда .

Первый виток спирали соответствует изменению параметра в пределах от до . По формуле (4) запишем

.

Интеграл можно вычислить, например, с помощью подстановки .

Мы поступим иначе. Обозначим и вспомним метод интегрирования по частям:

.

Так как справа снова получили , а табличный интеграл , то пришли к линейному относительно неизвестного интеграла уравнению:

.

Значит,

.