3. Определение определенного интеграла.

Зададим на конечном отрезке функцию . Отрезок разобьем на частей точками

,

и будем говорить, что произведено разбиение отрезка . На каждом частичном отрезке выберем по произвольной точке и составим сумму

Ее называют интегральной суммой (Римана) функции па отрезке , соответствующей разбиению . Интегральная сумма определена неоднозначно, потому что зависит от выбора .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм , если для любого можно указать такое , что для всех разбиений , у которых , и независимо от выбора точек имеет место неравенство

.

Число называется определенным интегралом от функции на и обозначается

.

Символ интеграла указывает на его происхождение: является как бы вытянутой буквой — первой буквой слова summa; выражение, стоящее за знаком интеграла, показывает вид суммируемых слагаемых. Индекс при переменной в выражении под интегралом опущен, чем подчеркивается, что в процессе суммирования, завершающегося предельным переходом, переменная принимает все значения в интервале . Числа, стоящие под и над символом интеграла, указывают концы интервала, на котором производилось суммирование. Функция называется подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, переменная – переменной интегрирования, число – нижним, а число – верхним пределами интегрирования.

4. Ограниченность интегрируемой функции

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция не ограничена на отрезке и пусть фиксировано некоторое разбиение

этого отрезка. В силу неограниченности функции на всем отрезке она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения . Пусть для определенности функция не ограничена на отрезке , тогда на этом отрезке существует последовательность точек , такая, что

Зафиксируем теперь точки , тогда сумма

будет иметь вполне определенное значение. Поэтому

,

и, значит, каково бы ни было число , всегда можно подобрать такой номер , что если на первом отрезке взять точку , то . Отсюда следует, что суммы не могут стремиться ни к какому конечному пределу при . Теорема доказана.

Условие ограниченности функции , являясь необходимым условием интегрируемости функции, не является вместе с тем достаточным для интегрируемости. В качестве примера, доказывающего это утверждение, рассмотрим так называемую функцию Дирихле:

Рассмотрим эту функцию, например, на отрезке . Она, очевидно, ограничена на этом отрезке. Покажем, что она не интегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение отрезка . Если выбрать точки , , рациональными, то в этих точках получим

а если взять иррациональными, то получим

Так как это верно для любого разбиения , то интегральные суммы заведомо не стремятся ни к какому пределу при .

5. Суммы Дарбу и их свойства.

Пусть функция определена на отрезке ,

–

некоторое разбиение отрезка и . Положим (см. рис.)

, .

По определению числа называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами Дарбу.

Свойство 1. Для любого разбиения и для любой ограниченной функции на отрезке имеет место неравенство

.

Мы будем называть разбиение более мелким, чем разбиение , если все точки разбиения являются точками разбиения . То есть более мелкое разбиение может быть получено из разбиения добавлением некоторых новых точек.

Свойство 2. Пусть - разбиение более мелкое, чем разбиение . Тогда

,

то есть при измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу может только уменьшится, а нижняя может только увеличится.

Так как разбиение может быть получено из разбиения путем добавления к последнему новых точек, то, очевидно, что сформулированное свойство достаточно доказать в случае, когда к разбиению добавляется одна точка. Пусть эта точка . Обозначим через и точные верхние грани функции на сегментах и , через и длины этих сегментов. Заметим, что , и . Далее

.

То есть . Доказательство для нижних сумм проводится аналогично.

Свойство 3. Для любых разбиений и имеет место неравенство

.

Добавим к точкам разбиения точки разбиения . Полученное разбиение обозначим через . Тогда из предыдущего свойства следует

.

Свойство 4. Пусть – интегральная сумма. Тогда имеет место неравенство

.

Это утверждение следует из того что

.

Свойство 5. Положим . Тогда .

Это утверждение очевидно.