Примеры для самостоятельной работы

Найти длины дуг кривых 1.

2. 3. , .

4.

5.

6. (астроида).

7.

8.

9. Площадь плоской фигуры

a) Декартовы координаты.

Пусть функция непрерывна на отрезке и на этом отрезке. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная этой кривой, прямыми и осью абсцисс, имеет площадь, определяемую формулой

. (1)

П ример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

По формуле (1) находим

.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой и осью ординат.

Первый способ. Кривая симметрична относительно оси абсцисс, поэтому достаточно вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой , . По формуле (1) находим

Второй способ. Изменим роли осей координат. Пределы интегрирования по переменной найдём как точки пересечения кривой с осью ординат: . Тогда (напоминаем о симметрии)

Если на отрезке , то

. (2)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной синусоидой , осью абсцисс и прямыми

П ри функция , соответствующую площадь находим по формуле (1):

При функция , соответствующую площадь находим по формуле (2):

Искомая площадь равна сумме найденных площадей:

Если плоская фигура ограничена двумя непрерывными кривыми и , и прямыми , , то её площадь определяется формулой

. (3)

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

Точки пересечения парабол найдем, решая систему уравнений

Здесь

и по формуле (3) находим

П ример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной верхней половиной окружности и параболой

Найдём абсциссы точек пересечения заданных кривых, решая систему уравнений

Здесь , . С учётом симметрии площадь фигуры определяем по формуле (3): .

Вычислим каждый интеграл отдельно:

1.

=

2.

Теперь

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Н айдём пределы интегрирования, решая систему

По формуле (3) находим

b) Параметрическое задание кривой.

Формула (1) может быть применена и в случае, когда кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями

, .

Произведя замену переменной в интеграле (1) (в предположении, что при и при ), получим

(4)

Если плоская фигура ограничена кусочно-гладкой замкнутой кривой, заданной параметрическими уравнениями , причем при граница пробегается против часовой стрелки, то площадь фигуры вычисляется по одной из формул:

; ; (5)

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Первый способ. С учетом симметрии эллипса относительно координатных осей в соответствии с формулой (1) запишем

.

Самостоятельно вычислите интеграл с помощью замены (как в примере 5).

Второй способ. Запишем параметрические уравнения эллипса:

.

Нижнему пределу интегрирования соответствует значение параметра , если , то . По формуле (4) находим

Третий способ. При изменении параметра от до граница фигуры обходится против часовой стрелки, начиная с точки . Например, по первой из формул (5) находим

Замечание. Полезно запомнить, что площадь, ограниченная эллипсом с полуосями , определяется формулой

Пример 8. Найти площадь, ограниченную осью абсцисс и первой аркой циклоиды

Циклоиду описывает точка окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой. Полный оборот окружность делает при изменении параметра от 0 до , пройдя при этом по прямой расстояние . При этом если , то , если , то .

По формуле (4) найдем

Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и осью абсцисс равна утроенной площади образующего круга.

c) Полярные координаты.

Если непрерывная кривая задана уравнением в полярных координатах, то площадь сектора, ограниченного этой кривой и полярными радиусами и , вычисляется по формуле

. (6)

Пример 9. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли

Ввиду симметрии фигуры относительно координатных осей достаточно найти четвёртую часть площади ( ). По формуле (6):

Пример 10. Найти площадь, ограниченную кривой (трилистник).

Выясним, где определена данная функция. Условие приводит к неравенству

,

откуда . Значит, на плоскости получаем три области (три угла раствором )

,

в каждой из которых находится один «лепесток».

В силу симметрии достаточно вычислить площадь половины одного лепестка, когда . Действительно, при этом полярный радиус увеличивается от до своего максимального значения .

По формуле (6) находим:

.

Получили четверть площади образующего круга.