6. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы

. (1)

Условие (1) означает, что для любого найдется такое , что для любого разбиения такого, что .

Необходимость. Пусть ограниченная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке и пусть

.

Тогда для любого найдется такое , что если , то

.

Отсюда согласно свойству 4 интегральных сумм, получим

.

Таким образом, если , то , а это означает выполнение условия (1).

Достаточность. Пусть функция ограничена и имеет место (1). Из свойства 5 имеем , поэтому .

Обозначая их общее значение через , то есть , получим

.

Отсюда следует и, в силу свойства 1 .

Это и означает интегрируемость функции .

Функция, непрерывная на , интегрируема на этом промежутке.

В дальнейшем понятие определенного интеграла будет расширено на неограниченные функции и на бесконечный промежуток.

7. Вычисление определенных интегралов

a) Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция непрерывна на отрезке и – ее первообразная, тогда

. (1)

Пример 1. Вычислить интегралы

a) , b) , c) .

1. Для функции первообразная . По формуле Ньютона-Лейбница находим

= .

2. Для функции первообразная . По формуле (1):

.

Для функции первообразная . По формуле (1):

.

Пример 2. Вычислить интегралы

a) , b) , c) , .

a) Для вычисления первообразной применим стандартный прием понижения степени: .

b) Так как подынтегральная функция , то следует взять на промежутке интегрирования от до и на промежутке от до . В силу аддитивности определенного интеграла , поэтому

.

c) Вычисление первообразной сводится к табличному интегралу : =

= = .

b) Интегрирование по частям. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке , тогда

Или . (2)

Пример 3. Вычислить интегралы

a) , b) , c) .

a) Стандартный для такого интеграла выбор частей и формула (2) приводят к результату:

.

b) .

c)

.

c) Замена переменной. Пусть выполняются условия:

a) функция непрерывна на ;

b) функция непрерывна вместе со своей производной на , причем и ;

с) сложная функция определена и непрерывна на ,

тогда

. (3)

Пример 4. Вычислить интегралы

a) ; b) ; c) ; d) .

а) Как и при вычислении неопределенного интеграла, здесь следует рационализировать подынтегральное выражение. Для этого выполним замену переменной , тогда . Но сейчас следует найти пределы изменения новой переменной :

если , то , если , то .

В соответствии с формулой (3) получаем

.

b) Не стоит возводить двучлен в 12-ую степень и затем интегрировать полином 25—го порядка. Замечая, что , выполним замену , тогда подынтегральное выражение преобразуется к виду . При изменении от до новая переменная изменяется от до .

По формуле (3) запишем:

.

Здесь учтено свойство определенного интеграла:

.

с) Выполним замену переменной , тогда . Найдем пределы изменения новой переменной :

если , то , если , то .

При этом подынтегральное выражение преобразуется к виду

.

Здесь учтено, что при , поэтому .

По формуле (3) найдем

= = = .

d) Выполним замену переменной , тогда

.

Найдем пределы изменения новой переменной :

если , то ,

если , то . По формуле (3) получаем: .

Задание для самоcтоятельной работы

Вычислить интегралы и сравнить ответы с приведенными

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. = ; 7. ;

8. ; 9. = ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. .