Определим дополнительные границы области устойчивости, для этого приравняем к нулю первый коэффициент характеристического многочлена (2.1.4.1) и его свободный член:
С0(
),=
0, С3(
),=
0
,
=
80906,15, но так как коэффициент усиления
не может быть меньше нуля, то
Для определения расположения области устойчивости относительно границ воспользуемся правилом штриховки [1,5], для этого составим определитель вида
Таким образом, для нашей системы:
Исследуем знак определителя. Решим уравнение:
(2.1.4.7)
В области положительных частот
,
если
,
и определитель
,
если
следовательно, при переходе точки,
соответствующей
,
следует сменить направление штриховки.
Область устойчивости изобразим на
рис.9
Рис. 9 Область устойчивости
Для проверки правильности штриховки, берется две точки (А и Б)
И проверяется устойчивость системы методом Гурвица
Точка А (находится в области устойчивости)
G(р)=
С0=
С1=
С2=
С3=
Построим матрицу Гурвица
=
(2.1.4.8)
Из (2.1.4.8) найдем определители:
Δ1
= С1=
Δ2
=
=
= (
)
104,557
Δ3
=
=
Разложим по третьему столбцу, получим:
Δ3
=
=
Δ2
3548
Система устойчива
Точка Б (не находится в области устойчивости)
G(р)=
С0=
С1=
С2=
С3=
Построим матрицу Гурвица
=
(2.1.4.9)
Из (2.1.4.9) найдем определители:
Δ1
= С1=
Δ2
=
=
= (
)
1959
,
Следовательно система не устойчива, и
область штриховки выбрана верно.
2.2 Исследование качества системы
2.2.1 Задача исследования качества
В теории автоматического управления качество системы связано с характеристикой переходных процессов в системе. Оценка качества исследуемой системы в курсовой работе будет осуществляться в три этапа, следующим образом:
Построение графика переходного процесса и его оценка.
Оценка качества по логарифмическим частотным характеристикам системы.
Оценка вынужденной ошибки системы.
2.2.2 Уравнение переходного процесса в системе
Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме будет иметь вид:
(2.2.2.1)
2.2.3 Построение графика переходного процесса
При построении графика переходного процесса дифференциальное уравнение системы решается методом Рунге-Кутты. При решении дифференциальное уравнение (2.2.2.1) преобразуется в систему из двух уравнений
(2.2.3.1)
В качестве входного воздействия принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t)
Зададим шаг решения Δt,
для этого исходя из чертежа
КП-02068.999-26-15-00.00.000.Д найдем частоту среза
Возьмем шаг решения
Структурная схема исходной замкнутой системы представлена на рисунке 10.
x(t) y(t)
Рис.10. Структурная схема замкнутой системы
Для того, чтобы построить график переходного процесса, необходимо решить дифференциальное уравнение численным методом. Для этого разбиваем передаточную функцию на две составляющие, как показано на рисунке 11.
y(t) z(t)
x(t)
Рис.11. Преобразованная структурная схема замкнутой системы
Подставляя значения фазовых координат в (2.2.2.1), получаем
(2.2.3.2)
Преобразуем первое уравнение системы уравнений (2.2.3.2) в следующий вид:
(2.2.3.3)
Решив систему (2.2.3.3) определим:
Для построения расчета таблиц переходного процесса воспользуемся программой MathCAD, в которой зададим следующие параметры:
-
начальные условия.
Исходное уравнение:
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта:
Конечный результат для вычисления переходного процесса.
Представим найденные Zзначение в таблице 4
Таблица 4 Расчет точек для построения переходного процесса
Теперь для построения точек переходного
процесса найдем Y, какZ
А(р)
Расчет точек для графика переходного процесса представим в таблице5.
Таблица 5. Расчет точек для графика переходного процесса
Для построения самого графика увеличим число точек с 13 до 2000 с целью увеличения его точности. Изобразим график на рисунке 12
Рис.12 График переходного процесса в системе
Из рис.12 видно, что:
tп.п.= 3.5c
yуст.= 1
ymax= 1.17