Данная задача может решаться в двух вариантах

При первом варианте по выработанному значению γ вычисляется значение функции интервала вероятности, а вычисляется ε.

Е = Z*S*/√n

(3,25)

Z = (E√n)/s^*

Пример

В результате приведенных испытаний по лучшему значения t_i безотказной работы для комплекса аппаратуры.

n

Т_ср = ∑t_i/n , T_cp = 2000 часов

i=1

n

S^* = [√∑(t_i – T_cp)²/(n-1)]- S^* = 340 часов

γ = 0,9 принимаем критерия доверия.

По таблице находим что 2Ф_о(z) =0,9 z=1.64

Зная аргумент функции z определяем доверительный интервал.

ε = 1,64*340/√16 = 140

1860<T_cp<2140 часов с вероятностью 0,9

Пример

Определить коэффициент доверия при заданном интервале

примем доверительный интервал 50 часов ε = 50часов

по таблице находим Ф_о(0,59) = 0,22

γ = 2Ф_о(0,59)= 0,44

Данный метод может использовать, когда много данных об отказах и отказы постепенные и имеют нормальны закон распределения.

И случае экспоненциального закона или при малых количествах отказов пользуясь этой методикой, так как в этом случае Тср≠Тср, а σ≠S*

рассмотрим случаи, когда отказы распределения по нормальному закону, но число данных об отказах мало : в этом случае вводится ещё одна случайная велечена

t = Tcp*-Tcp / S*	(3.26)
n σ*(Tcp) = σ*/√n = S* =[√∑(ti – Tcp)2]/ n(n-1)	(3.27)

Случайная величена t подчиняется закону распределения Стьюдента. Особенность этого закона заключается в том, что он не зависит от σ, Т_ср, а зависит от n

Зададимся доверительным коэффициентом t_α и найдем коэффициент доверия. коэффициент доверия вероятность того что искомое значение будет находится в интервале от -t_α до t_α ([-t_α; t_α])пользуясь распределением Стьюдента можно записать что:

tα tα γ = P{- tα ≤ t ≤ tα} = ∫ Sn(t)dt= α ∫ Sn(t)dt -tα 0

(3.28)

t_α

γ = P{-t_αS^*≤T_cp^*-T- T≤ t_αS^*} = 2 ∫ Sn(t)td

0

t_α = ε / S^* = T_cp^* -T_cp / S^*

Затем по таблице значений Стьюдента в зависимости от tα, n можно найти коэффициент доверия γ или наоборот в зависимости от выбранного значения γнайти значение Е

ε = tαS*

(3.29)

В соответствии сданными предыдущего примера.

n

S^* =√[∑(t_i – T_cp)²/n(n-1)] ; S^* = 85

i=1

Примем γ = 0,9. тогда при n = 16 из таблицы распределения Стьюдента t_α = 1,75

В соответствии с формулой 3.29 ε= 1,75 * 85 = 149

Данный способ может использоваться при любом значении распределения отказов.

Рассмотрим определенный доверительный интервал для Т_ср при экспоненциальном законе распределения при плане испытаний [N,Б,r] без замены элементов из математики известно, что величина.

U = 2Sб(r) λ = 2Sб(r) / T_cp

Из математики известно, что U распределена по закону с 2r степеней свободы.

Распределения χ² имеет вид

n SБ (r) = ∑ti +(N-r)tr i=1

(3.30)

Вероятность того что U а пределах от χ²₁ до χ²₂ равно площади под кривой плотности распределения f_2r(U) и ограниченная значением χ²₁ , χ²₂

χ²₂ ∞ ∞

γ = P{ χ²₁≤ U ≤ χ²₂} = ∫ f_2r (U) dU = ∫ f_2r(U) dU-∫f_2r(U)dU

χ²₁ χ²₁ χ²₂

∞

Интервал ∫f2r(U)dU – табулирован

χ²₂

Точка образа зависимости λ_n ,λ_в, вычисляется значением χ²₁ и χ²₂ по таблице определения коэффициента доверия.

γ→ λ_n ,λ_в

Установлено что доверительный интервал будет минимальный если площадь под кривой f_2r(U) в интервалах [ 0 , χ²₁] ,[ χ²₂ ;∞ )

Тогда абсцисса χ²₁ , χ²₂ соответствует ограничении площади

0,5(1+γ) ; 0,5 (1-γ)

Последовательность определения доверительного интервала сводится задавшись коэффициентом доверия γ , определить значения 0.5(1+γ) ; 0.5 (1-γ) и зная число степеней свободы 2r по таблице χ²² распределения находим значение χ²₁ и χ²₂. А зная λn ,λв могут быть найдены и следующие неравенства.

χ22(2r) ≤ 2SБ(U) ≤ Λ2 χ22(2r)

(3.31)

Заменив ≤ на = можно записать

λn = χ21(2r) / 2SБ(U)

(3.32)

λв = χ22(2r) / 2SБ(U)

(3.33)

Т_ов = 1/λ_n ; Т_он = 1/ λ_в наработка на отказ