Тогда выражение для момента импульса тела

3.4. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси.

Разобьём тело на материальные точки.

Момент импульса материальной точки относительно оси вращения определяется выражением:

LZ (r p)Z

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса материальной точки.

Вычислим производную от вектора момента импульса

Скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту сил, действующих на эту точку.

Подобное утверждение справедливо и для момента импульса материальной точки относительно некоторой оси Z.

Другая формулировка: изменение момента импульса равно импульсу момента приложенной силы:

dL M dt

Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по всем точкам тела:

Впоследнем равенстве Lz – момент импульса тела относительно оси Z.

n

Mziвнутр. 0 i 1

– сумма моментов внутренних сил равна нулю.

n

Mziвнеш. MZi,ВНЕШ i 1

– сумма моментов внешних сил.

Тогда для всего тела в целом имеем равенство:

dL

dtz Mz внеш.

dL

dtz Mz внеш.

Полученное равенство выражает наиболее общую запись основного закона динамики вращательного движения.

Формулировка закона: скорость изменения момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения равна результирующему моменту внешних сил, действующих на это тело относительно этой же оси.

Момент инерции J абсолютно твердого тела – постоянная величина.

Вынесем её за знак дифференциала:

εz – проекция вектора углового ускорения на ось Z, направленную по вектору угловой скорости.

J εz Mz внеш.

Равенство, записанное для проекций входящих величин, можно записать и для модулей и для векторов этих

Другая формулировка основного закона динамики вращательного движения закона:

угловое ускорение твёрдого тела при его вращении вокруг закреплённой оси прямо пропорционально результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси и обратно пропорционально моменту

инерции тела.