Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Все лекции / Тема 3 Динамика вращ. дв-я.ppt
Скачиваний:
105
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
792.58 Кб
Скачать

2. Движение материальной точки по окружности.

В этом случае угол между радиус-вектором r материальной точки и импульсом P этой точки равен 900 , поэтому модуль момента импульса равен

L m v r

r – радиус окружности, по которой происходит движение.

 

 

m

0

L

P

 

 

 

Момент импульса материальной точки

относительно оси

 

Моментом импульса материальной точки относительно

произвольной оси Z называется проекция вектора

момента импульса этой материальной точки

относительно любой точки О, выбранной на оси Z, на

данную ось.

 

 

 

LZ (r p)Z

L

L

mP

z

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Модуль момента импульса относительно оси Z можно записать как

LZ p R

где p – проекция импульса на направление вектора, направленного по касательной к окружности радиусом R, проведенной через материальную точку перпендикулярно оси вращения.

Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения равен векторной сумме моментов импульсов всех материальных точек, из которых состоит твёрдое тело.

n

L Li

i 1

Выберем на оси Z произвольную точку О. Разобьем тело на материальные точки.

На рисунке показана одна из таких точек, имеющая массу mi , движущаяся от нас со скоростью vi .

z

 

 

 

 

 

 

Ri

mi

 

 

Vi

Li

i

i

 

 

 

 

 

 

 

0

 

ò åëî

Момент импульса этой материальной точки относительно точки О равен:

 

 

pi

 

 

 

 

 

 

 

Li ri

mi (ri

vi )

 

z

 

 

 

 

 

 

Ri

mi

 

 

Vi

Li

i

i

 

 

 

 

 

 

 

0

 

ò åëî

Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех материальных точек:

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

L Li

mi (ri

vi )

 

i 1

 

i 1

 

 

Заметим, что в общем случае для несимметричного тела момент импульса тела относительно точки О не направлен вдоль оси вращения тела и при вращении описывает вокруг оси Z коническую поверхность.

z

 

 

 

L

 

0

ò åëî

 

Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси

Запишем выражение для момента импульса отдельной материальной точки относительно оси Z.

Lzi Li cos i mi vi ri cos i mi vi Ri

Учтем взаимосвязь модулей угловой и линейной скоростей материальной точки: vi ω R i

Тогда

Lzi ω

mi Ri

 

2

 

 

 

Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен скалярной сумме моментов импульсов всех точек этого тела относительно этой оси:

 

n

L

 

ω

n

m

R2

J

L

zi

 

z

 

 

 

i

i

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

Момент импульса тела относительно оси не зависит от выбора положения точки О.

Сумма в последнем равенстве представляет собой момент инерции тела относительно оси Z.