- •Мультимедийные лекции по физике
- •Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
- •3.1. Момент инерции
- •Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
- •Момент инерции твёрдого тела
- •Для твёрдых тел неправильной геометрической формы массу тела разбивают на элементарные массы Δmi
- •Элементарные массы можно представить как
- •Момент инерции однородного цилиндра
- •Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
- •Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
- •Учтем, что масса цилиндра
- •Моменты инерции тел правильной
- •Толстостенный цилиндр:
- •Теорема Штейнера
- •Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
- •Таким образом, момент инерции тела зависит от его формы, размеров, плотности, расположения оси
- •3.2. Момент силы
- •Момент силы относительно точки
- •Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
- •Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора момента силы –
- •На рисунке показаны плечи сил.
- •Момент силы относительно оси
- •Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки,
- •Модуль момента силы относительно оси может быть положительным или отрицательным в зависимости от
- •Закреплённая ось вращения F
- •В случае закреплённой оси момент силы F относительно произвольной точки О равен сумме
- •При этом момент силы относительно закреплённой оси
- •Показано вращение материальной точки (элементарной массы) в плоскости.
- •Момент пары сил
- •Момент пары сил относительно некоторой точки О равен сумме моментов сил, образующих пару.
- •Пусть составляющие пару равные силы
- •Отсюда следует очень важный вывод о том, что сумма моментов всех внутренних сил
- •3.3. Момент импульса
- •Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая движения материальной точки:
- •2. Движение материальной точки по окружности.
- •Момент импульса материальной точки
- •Модуль момента импульса относительно оси Z можно записать как
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения
- •Выберем на оси Z произвольную точку О. Разобьем тело на материальные точки.
- •Момент импульса этой материальной точки относительно точки О равен:
- •Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех
- •Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси
- •Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен скалярной сумме моментов импульсов всех точек
- •Тогда выражение для момента импульса тела
- •3.4. Основной закон динамики вращательного движения
- •Вычислим производную от вектора момента импульса
- •Подобное утверждение справедливо и для момента импульса материальной точки относительно некоторой оси Z.
- •Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по
- •Момент инерции J абсолютно твердого тела – постоянная величина.
- •J εz Mz внеш.
- •Графическая интерпретация
- •Условия равновесия твёрдого тела
- •Равновесие может быть устойчивым (3), неустойчивым (метастабильным) (2) и безразличным (1).
- •1)- устойчивое положение равновесия;
2. Движение материальной точки по окружности.
В этом случае угол между радиус-вектором r материальной точки и импульсом P этой точки равен 900 , поэтому модуль момента импульса равен
L m v r
r – радиус окружности, по которой происходит движение.
|
|
m |
0 |
L |
P |
|
||
|
|
Момент импульса материальной точки |
|||
относительно оси |
|
||
Моментом импульса материальной точки относительно |
|||
произвольной оси Z называется проекция вектора |
|||
момента импульса этой материальной точки |
|||
относительно любой точки О, выбранной на оси Z, на |
|||
данную ось. |
|
|
|
LZ (r p)Z |
L |
L |
mP |
z |
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Модуль момента импульса относительно оси Z можно записать как
LZ p R
где p – проекция импульса на направление вектора, направленного по касательной к окружности радиусом R, проведенной через материальную точку перпендикулярно оси вращения.
Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения
Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения равен векторной сумме моментов импульсов всех материальных точек, из которых состоит твёрдое тело.
n
L Li
i 1
Выберем на оси Z произвольную точку О. Разобьем тело на материальные точки.
На рисунке показана одна из таких точек, имеющая массу mi , движущаяся от нас со скоростью vi .
z
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
mi |
|
|
|
Vi |
||
Li |
i |
i |
||
|
||||
|
|
|||
|
|
|
||
|
0 |
|
ò åëî |
Момент импульса этой материальной точки относительно точки О равен:
|
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Li ri |
mi (ri |
vi ) |
|
z
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
mi |
|
|
|
Vi |
||
Li |
i |
i |
||
|
||||
|
|
|||
|
|
|
||
|
0 |
|
ò åëî |
Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех материальных точек:
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
L Li |
mi (ri |
vi ) |
|||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
Заметим, что в общем случае для несимметричного тела момент импульса тела относительно точки О не направлен вдоль оси вращения тела и при вращении описывает вокруг оси Z коническую поверхность.
z |
|
|
|
L |
|
0 |
ò åëî |
|
Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси
Запишем выражение для момента импульса отдельной материальной точки относительно оси Z.
Lzi Li cos i mi vi ri cos i mi vi Ri
Учтем взаимосвязь модулей угловой и линейной скоростей материальной точки: vi ω R i
Тогда |
Lzi ω |
mi Ri |
|
2 |
|
|
|
|
Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен скалярной сумме моментов импульсов всех точек этого тела относительно этой оси:
|
n |
L |
|
ω |
n |
m |
R2 |
J |
L |
zi |
|
||||||
z |
|
|
|
i |
i |
|
||
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Момент импульса тела относительно оси не зависит от выбора положения точки О.
Сумма в последнем равенстве представляет собой момент инерции тела относительно оси Z.