Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
ρ const .
R
J ρ r2dV ρ r2h 2π r dr
0
R – радиус цилиндра.
Вынесем за знак интеграла постоянные величины:
R |
R 4 |
||
J 2π h ρ r2dr 2π |
|||
h ρ |
|
||
|
|
4 |
|
0 |
|
||
Учтем, что масса цилиндра
mρ V ρ π R2h
Витоге получим формулу момента инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр тяжести в виде:
|
mR2 |
R |
|
J |
|
||
2 |
m |
||
|
Моменты инерции тел правильной |
формы |
Аналогично рассчитываются моменты инерции любых |
тел правильной формы. |
Дальше приведены формулы моментов инерции |
некоторых тел правильной геометрической формы. |
Тонкий цилиндр и обруч |
R |
J m R 2 |
Толстостенный цилиндр:
J 12 m R12 R 22
1 |
R2 |
|
Шар |
Тонкий стержень |
|
2 |
J 1 |
|
J 5 m R 2 |
m l2 . |
|
|
12 |
|
R |
l |
|
Теорема Штейнера
Моменты инерции тел относительно произвольных осей рассчитываются по теореме Штейнера:
o |
' |
|
|
a |
c |
|
|
|
o |
d |
|
J J0 md2
Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси,
проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
D B
d
CA
JAB JCD md2 52 mR2 mR2 75 mR2
Таким образом, момент инерции тела зависит от его формы, размеров, плотности, расположения оси вращения.
Момент инерции не зависит от характера движения тела.
3.2. Момент силы
Вращательное действие силы – сообщение телу углового ускорения – зависит не только от модуля и направления силы, но и от того, к какой точке тела она приложена.
Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы - М.
Момент силы:
-величина векторная;
-измеряется в Нм (ньютон - метрах).