Мультимедийные лекции по физике
Классическая и релятивистская механика
Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
План лекции
3.1.Момент инерции.
3.2.Момент силы.
3.3.Момент импульса.
3.4.Основной закон динамики вращательного движения.
3.1. Момент инерции
Момент инерции:
-величина, характеризующая инертные свойства тела (или материальной точки) при вращательном движении.
-скалярная величина.
1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения – величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния её от оси вращения:
r
m
J m r2
Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
При вращении материальные точки движутся по окружностям разного радиуса.
Каждая материальная точка имеет свой момент инерции:
r2 |
J |
m |
r 2 |
|
i |
i |
i |
|
m2 |
|
|
r1 
m1
Момент инерции твёрдого тела
2.Момент инерции твёрдого тела относительно заданной оси вращения равен скалярной сумме моментов инерций всех его материальных точек относительно этой оси:
n |
|
|
|
|
n |
|
|
J Ji |
|
|
|
|
J mi ri |
2 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Момент инерции твёрдого тела:
-скалярная величина.
-измеряется в (кг м2).
Для твёрдых тел неправильной геометрической формы массу тела разбивают на элементарные массы Δmi .
Момент инерции тела в этом случае запишется как
n
J Δmi ri 2
i 1
ri - расстояние от элементарной массы до оси вращения.
Элементарные массы можно представить как
Δmi ρi ΔVi
|
ρi |
|
|
|
ΔVi |
где |
– плотность тела в данной точке, |
– объём |
|||
элементарной массы. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Следовательно, |
J ρi ri2 ΔVi |
|
|
||
|
|
|
i 1 |
|
|
Эти соотношения являются приближенными.
Значение момента инерции будут тем точнее, чем меньше
элементарные объемы |
и соответствующие им |
элементарные массы |
которые будут обозначаться |
как dm. |
Δmi |
|
Соответственно момент инерции элементарной массы запишется как dJ = dm r2 .
Тогда для твёрдых тел правильной геометрической формы вычисление момента инерции тела сводится к вычислению интеграла:
Jr2 dm ρ r2 dV
Вкачестве примера найдем момент инерции однородного цилиндра относительно оси, совпадающей с осью его симметрии.
Момент инерции однородного цилиндра |
m – масса, R - радиус, h – высота цилиндра |
dr |
h |
Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси цилиндра.
Объем такого слоя равен: dV h 2π r dr
dr
r