- •Мультимедийные лекции по физике
- •Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
- •3.1. Момент инерции
- •Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
- •Момент инерции твёрдого тела
- •Для твёрдых тел неправильной геометрической формы массу тела разбивают на элементарные массы Δmi
- •Элементарные массы можно представить как
- •Момент инерции однородного цилиндра
- •Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
- •Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
- •Учтем, что масса цилиндра
- •Моменты инерции тел правильной
- •Толстостенный цилиндр:
- •Теорема Штейнера
- •Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
- •Таким образом, момент инерции тела зависит от его формы, размеров, плотности, расположения оси
- •3.2. Момент силы
- •Момент силы относительно точки
- •Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
- •Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора момента силы –
- •На рисунке показаны плечи сил.
- •Момент силы относительно оси
- •Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки,
- •Модуль момента силы относительно оси может быть положительным или отрицательным в зависимости от
- •Закреплённая ось вращения F
- •В случае закреплённой оси момент силы F относительно произвольной точки О равен сумме
- •При этом момент силы относительно закреплённой оси
- •Показано вращение материальной точки (элементарной массы) в плоскости.
- •Момент пары сил
- •Момент пары сил относительно некоторой точки О равен сумме моментов сил, образующих пару.
- •Пусть составляющие пару равные силы
- •Отсюда следует очень важный вывод о том, что сумма моментов всех внутренних сил
- •3.3. Момент импульса
- •Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая движения материальной точки:
- •2. Движение материальной точки по окружности.
- •Момент импульса материальной точки
- •Модуль момента импульса относительно оси Z можно записать как
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения
- •Выберем на оси Z произвольную точку О. Разобьем тело на материальные точки.
- •Момент импульса этой материальной точки относительно точки О равен:
- •Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех
- •Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси
- •Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен скалярной сумме моментов импульсов всех точек
- •Тогда выражение для момента импульса тела
- •3.4. Основной закон динамики вращательного движения
- •Вычислим производную от вектора момента импульса
- •Подобное утверждение справедливо и для момента импульса материальной точки относительно некоторой оси Z.
- •Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по
- •Момент инерции J абсолютно твердого тела – постоянная величина.
- •J εz Mz внеш.
- •Графическая интерпретация
- •Условия равновесия твёрдого тела
- •Равновесие может быть устойчивым (3), неустойчивым (метастабильным) (2) и безразличным (1).
- •1)- устойчивое положение равновесия;
Мультимедийные лекции по физике
Классическая и релятивистская механика
Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
План лекции
3.1.Момент инерции.
3.2.Момент силы.
3.3.Момент импульса.
3.4.Основной закон динамики вращательного движения.
3.1. Момент инерции
Момент инерции:
-величина, характеризующая инертные свойства тела (или материальной точки) при вращательном движении.
-скалярная величина.
1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения – величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния её от оси вращения:
r
m
J m r2
Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
При вращении материальные точки движутся по окружностям разного радиуса.
Каждая материальная точка имеет свой момент инерции:
r2 |
J |
m |
r 2 |
|
i |
i |
i |
|
m2 |
|
|
r1 m1
Момент инерции твёрдого тела
2.Момент инерции твёрдого тела относительно заданной оси вращения равен скалярной сумме моментов инерций всех его материальных точек относительно этой оси:
n |
|
|
|
|
n |
|
|
J Ji |
|
|
|
|
J mi ri |
2 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Момент инерции твёрдого тела:
-скалярная величина.
-измеряется в (кг м2).
Для твёрдых тел неправильной геометрической формы массу тела разбивают на элементарные массы Δmi .
Момент инерции тела в этом случае запишется как
n
J Δmi ri 2
i 1
ri - расстояние от элементарной массы до оси вращения.
Элементарные массы можно представить как
Δmi ρi ΔVi
|
ρi |
|
|
|
ΔVi |
где |
– плотность тела в данной точке, |
– объём |
|||
элементарной массы. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Следовательно, |
J ρi ri2 ΔVi |
|
|
||
|
|
|
i 1 |
|
|
Эти соотношения являются приближенными.
Значение момента инерции будут тем точнее, чем меньше
элементарные объемы |
и соответствующие им |
элементарные массы |
которые будут обозначаться |
как dm. |
Δmi |
|
Соответственно момент инерции элементарной массы запишется как dJ = dm r2 .
Тогда для твёрдых тел правильной геометрической формы вычисление момента инерции тела сводится к вычислению интеграла:
Jr2 dm ρ r2 dV
Вкачестве примера найдем момент инерции однородного цилиндра относительно оси, совпадающей с осью его симметрии.
Момент инерции однородного цилиндра |
m – масса, R - радиус, h – высота цилиндра |
dr |
h |
Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси цилиндра.
Объем такого слоя равен: dV h 2π r dr
dr
r