31.2. Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования
Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, задача линейного программирования может быть представлена как игра.
Для первого игрока математическая модель задачи записывается в виде
при ограничениях:
Математическую модель можно упростить, разделив все (п + 1) ограничений на v. Это возможно при v ≠ 0. При v = 0 рекомендуется прибавить любое положительное число ко всем элементам платежной матрицы, что гарантирует положительность значения модифицированной игры. Действительное значение игры получается вычитанием из модифицированного значения этого положительного числа. Если v < 0, то надо сменить знаки неравенств. Полагая v > 0, систему ограничений можно записать так:
Положим Хi = xi/v. Так как v → max, то 1 / v → min. Получим задачу линейного программирования вида
при ограничениях:
Для второго игрока математическая модель записывается в виде
при ограничениях:
где S( ) = 1 / v, Yj = уj / v.
Задача второго игрока является двойственной по отношению к задаче первого игрока. Можно найти решение одного из игроков, а затем по теоремам двойственности — решение другого.
31.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в табл. 31.10.
Определить оптимальный план продажи товаров.
Решение. Обозначим: вероятность применения торговой фирмой стратегии П1 — x1, стратегии П2 —x2, П3 — х3; вероятность использования стратегии К1 — у1, стратегии К2 — y2, К3 — у3.
Для первого игрока (торговой фирмы) математическая модель задачи имеет вид
при ограничениях:
где xi = Хiv.
Для второго игрока (конъюнктуры рынка и спроса покупателей) математическая модель задачи имеет вид
при ограничениях:
Найдем оптимальное решение задачи для второго игрока симплексным методом. При этом последняя таблица имеет вид табл. 31.11.
Из таблицы следует, что опт = (1/14, 11/196, 5/49), S( )max = 45/196.
Цена игры v = 1 / S(Y) = 196/45.
Так как уi = Yiv, то y1 = 14/45, у2 = 11/45, у3 = 20/45.
Оптимальная стратегия второго игрока:
Стратегии первого игрока найдем из последней симплексной таблицы, используя метод соответствия переменных исходной и двойственной задач. Получим
Таким образом, торговая фирма на ярмарке должна придерживаться стратегии опт = (20/45, 11/45, 14/45), при этом она получит доход не менее v = 196/45 ден. ед.
31.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования
В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программирования. И, наоборот, задача линейного программирования может быть сведена к матричной игре.
Если задача линейного программирования имеет вид
при ограничениях:
то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида
где А — матрица коэффициентов при неизвестных системы ограничений задачи линейного программирования; В — матрица свободных членов; С — матрица коэффициентов при неизвестных целевой функции; Аt, Bt, Ct — транспонированные матрицы А, B, С.
Если задача линейного программирования имеет вид
при ограничениях:
то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида
Пример 4. Построить матричную игру, заданную задачей линейного программирования
при ограничениях:
Решение. Обозначим:
Транспонированные матрицы:
Ответ. Игру, определяемую данной задачей линейного программирования, можно записать матрицей
