2.2 Применение в экономике
Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.
Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид
(2.4)
где Q0
— первоначальная
сумма вклада в банк, р
— процент
начисления за определенный период
времени (месяц, год), п
— количество
периодов времени хранения вклада, Q
— сумма
вклада по истечении п
периодов времени. Формулы типа (2.4)
используются также в демографических
расчетах (прирост народонаселения) и
в прогнозах экономики (увеличение
валового национального продукта). Пусть
первоначальный депозит Q0
помещен в
банк под р
= 100% годовых,
тогда через год сумма депозита составит
2Q0.
Предположим, что через полгода счет
закроется с результатом
и эта сумма
будет вновь помещена в качестве депозита
в том же банке. В конце года депозит
будет составлять
.
Будем уменьшать срок размещения депозита
в банке при условии его последующего
размещения после изъятия. При
ежеквартальном повторении этих операций
депозит в конце года составит
.
Если повторять операцию изъятие-размещение
в течение года сколько угодно раз, то
при ежемесячном манипулировании сумма
за год составит
;
при ежедневном посещении банка
;
при ежечасном —
и т.д. Нетрудно видеть, что последовательность
значений возрастания первоначального
вклада {qn}
= {Qn/Q0}
как раз совпадает с последовательностью,
пределом которой является число ε при
п
согласно (2.4). Таким образом, доход,
который можно получить при непрерывном
начислении процентов, может составить
за год не более чем
В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины
где r = р/100. Это выражение можно преобразовать:
Мы можем ввести
новую переменную
и при n
получим m
,
или
Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.
Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?
Решение. Применение формулы сложных процентов дает
где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полугодии. Преобразуя это выражение, получаем
т.е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы следующих последовательностей.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при а) р = 3% и б) р = 5%.
2.10. Коммерческий банк, обслуживающий предприятие по выдаче заработной платы, задерживает перечисляемые ему средства в среднем на 9 месяцев. За это время он успевает три раза "прокрутить" эти деньги в виде краткосрочных кредитов, выдаваемых частным предпринимателям на три месяца, под 3% в месяц. Сколько процентов прибыли получает банк на этой операции?
2.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать, что выгоднее банку: кредитовать из собственных средств предприятия на условиях ставки годового процента, равной 20%, или заниматься вышеуказанной деятельностью.
2.12. Темп инфляции составляет 6% в месяц. Каков должен быть процент годовой ставки кредита, выдаваемого банком, чтобы прибыль от кредитования составляла 12% в год?