Глава 8. Функции нескольких переменных

8.1. Евклидово пространство Em

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками M₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) определено по формуле

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства характеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между двумя любыми точками пространства M(x₁, y₁ ,z₁) и М(x₂, y₂, z₂) определяется формулой

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т действительных чисел (x₁, х₂, x₃, ..., x_m) называется т-мерным координатным пространством А^m.

Каждую упорядоченную совокупность (x₁, x₂, x₃,, … ,x_т,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x₁, x₂, x₃, …, x_m называются координатами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x₁, x₂, ..., x_m).

Определение 3. Координатное пространство А^m называется т-мерным евклидовым пространством Е^m, если между двумя любыми точками М'(х₁', х₂, '... , х_m') и М"(x₁'', х₂'',... , х_m'') пространства А^m определено расстояние ρ(М', М") по формуле

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координатного пространства А^m и m-мерного евклидова пространства E^m являются обобщениями понятий соответственно координатных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

8.2. Множества точек евклидова пространства Еm

Примеры множеств евклидова пространства Е^m

Будем обозначать символом {М} некоторое множество точек m-мерного пространства Е^m. Рассмотрим некоторые примеры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x₁, x₂, ..., x_m которых удовлетворяют неравенству

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M₀(x ,x ,...,x ).

Этот пример является m-мерным обобщением соответственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими неравенствами:

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

В случае строгого неравенства ρ(М, М₀) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это множество также называют R-окрестностью точки M₀. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называется замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каждой из них до некоторой точки M₀ удовлетворяет равенству ρ(М, М₀) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с центром в точке M₀.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x₀)² + (у – y₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀), для пространства — сфера (x – x₀)² + (у – y₀)² + (z – z₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀, z₀).

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства E^m по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М_п} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E³. Аналогичным образом функция от т переменных

определенная на множестве {М} евклидова пространства Е^m, представляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Е^m+1.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е³. Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой параболоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х² и z = у².

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е³. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е² или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку M₀(x₀, y₀, z₀), то она может быть задана уравнением

Например, составить уравнение плоскости с перпендикулярным вектором = (1, 2, -1), проходящей через точку М₀ (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

Линии уровня

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскости Оху, описываемое уравнениями вида

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел C_i с постоянной разностью h; тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х² + у² — 2х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке O₁(l, 1) радиуса r = . Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнениями x = 1, у = 1.