31.1. Графическое решение игр вида (2 X n) и (m X 2)

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии. Рассмотрим игру (2 х п), см. табл. 31.2.

Предполагаем, что игра не имеет седловой точки.

Обозначим: х₁ — вероятность применения первым игроком 1-й стратегии, x₂ — вероятность применения первым игроком 2-й стратегии, причем х₂ = 1 — x₁; y₁ — вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии, у₂ — вероятность применения вторым игроком 2-й стратегии и т.д., у_n — вероятность применения вторым игроком п-й стратегии.

Ожидаемый выигрыш первого игрока при применении вторым 1-й стратегии составит

Аналогично найдем ожидаемые выигрыши первого игрока при применении вторым игроком 2, 3, ..., n-й стратегий. Полученные данные поместим в табл. 31.3.

Из таблицы видно, что ожидаемый выигрыш первого игрока линейно зависит от x₁. На оси X₁ построим выражения ожидаемых выигрышей первого игрока.

Первый игрок должен выбирать такие стратегии, чтобы максимизировать свой минимальный ожидаемый выигрыш. Поэтому оптимальная стратегия первого игрока определяется как точка пересечения прямых, максимизирующих его минимальный ожидаемый выигрыш.

Аналогично находим оптимальную стратегию второго игрока. Она определяется как точка пересечения прямых, минимизирующих его максимальные ожидаемые проигрыши.

Пример 1. Рассмотрим представленную выше игру, заданную платежной матрицей

Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение. Обозначим: x₁ — вероятность применения первым игроком 1-й стратегии, х₂, х₃, х₄ — вероятность использования первым игроком 2, 3, 4-й стратегий соответственно, причем х₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1; y₁ — вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии, у₂, у₃, y₄, y₅ — вероятность использования вторым игроком 2, 3, 4, 5-й стратегий соответственно, причем y₁ + у₂ + у₃ + y₄ + y₅ = 1.

Платежная матрица была упрощена путем вычеркивания дублирующих, заведомо невыгодных стратегий. Поэтому x₂ = x₄ = y₁ = y₂ = y₃ = 0 и матрица имеет вид

Найдем решение игры (табл. 31.4) графическим методом (рис. 31.1). На оси Х₁ разместим точки х₁ = 0 и х₁ = 1, через которые проведем прямые, перпендикулярные оси Х₁. Подставляя х₁ = 0 и x₁ = 1 в выражение х₁ +3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение –3x₁ + 5.

Оптимальная стратегия первого игрока определится из равенства выражений х₁ + 3 и -3х₁ + 5:

Цена игры v = x₁ + 3 = 1/2 + 3 = 7/2.

Оптимальная стратегия первого игрока:

Найдем оптимальную стратегию для второго игрока (табл. 31.5).

Имеем

Оптимальная стратегия второго игрока (рис. 31.2):

Пример 2. Найдем решение игры вида (2 х n), заданной платежной матрицей (табл. 31.6)

Решение. Находим

α = mах (-1,2) = 2, β = min (4, 3, 3, 6) = 3, 2 ≤ v ≤ 3.

Тогда

Оптимальное решение первого игрока:

_опт = (1/2, 1/2), при этом цена игры составляет v = 5/2.

Найдем оптимальное решение второго игрока (табл. 31.7).

Из рис. 31.3 следует, что оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений –x₁ + 3 и х₁ + 2, соответствующих 2-й и 3-й чистым стратегиям второго игрока (см. табл. 31.5), поэтому y₁ = y₄ = 0, а у₃ = 1 – y₂.

Имеем

откуда

Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.4):

_опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), при этом цена игры v = 5/2.

Ответ.

_опт = (1/2, 1/2), _опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), v = 5/2.

Пример 3. Найдем решение игры вида (т х 2), заданной платежной матрицей (табл. 31.8)

Решение. Находим α = mах (2, 2, 2, -2) = 2, β = min (3, 6) = 3, 2 ≤ v ≤ 3. Пусть y₁ и у₂ (причем y₂ = l —y₁) — смешанные стратегии второго игрока; x₁, x₂, x₃, x₄ — смешанные стратегии первого игрока.

Находим

Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.5):

_опт = (2/3, 1/3), при этом цена игры v = 8/3.

Прямые, пересекающиеся в минимаксной точке, соответствуют 1-й и 3-й чистым стратегиям первого игрока. Это означает, что х₂= х₄ = 0. Следовательно, х₁ = 1 — x₃. Найдем оптимальную стратегию 1-го игрока (табл. 31.9, рис. 31.6).

Имеем

Оптимальное решение первого игрока:

_опт = (1/3, 0, 2/3, 0), при этом цена игры v = 8/3.

Ответ.

_опт = (1/3, 0, 2/3, 0), _опт = (2/3, 1/3), v = 8/3.