
- •Основы математики и ее приложения в экономическом образовании
- •Предисловие
- •Введение
- •1.2. Вещественные числа и их свойства
- •1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
- •1.4. Грани числовых множеств
- •1.5. Абсолютная величина числа
- •Глава 2. Предел последовательности
- •2.1. Числовые последовательности
- •2.2 Применение в экономике
- •Глава 3. Функции одной переменной
- •3.1. Понятие функции
- •3.2. Предел функции
- •3.3. Теоремы о пределах функций
- •3.4. Два замечательных предела
- •3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции
- •3.7. Непрерывность элементарных функций
- •3.8. Понятие сложной функции
- •3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Глава 4. Основы дифференциального исчисления
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Понятие дифференциала функции
- •4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного
- •4.4. Таблица производных простейших элементарных функций
- •4.5. Дифференцирование сложной функции
- •4.6. Понятие производной n-го порядка
- •Глава 5. Применение производных в исследовании функций
- •5.L. Раскрытие неопределенностей
- •5.2. Формула Маклорена
- •5.3. Исследование функций и построение графиков
- •5.4. Применение в экономике
- •Глава 6. Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •6.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •6.4. Основные методы интегрирования
- •Глава 7. Определенный интеграл
- •7.1. Условия существования определенного интеграла
- •7.2. Основные свойства определенного интеграла
- •7.3. Основная формула интегрального исчисления
- •7.4. Основные правила интегрирования
- •7.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •7.6. Некоторые приложения в экономике
- •7.7. Несобственные интегралы
- •Глава 8. Функции нескольких переменных
- •8.1. Евклидово пространство Em
- •8.2. Множества точек евклидова пространства Еm
- •8.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных
- •8.5. Применение в задачах экономики
- •Часть 2. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •9.3. Неполные уравнения
- •9.4. Линейные уравнения первого порядка
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •10.1. Основные понятия теории
- •10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка
- •Глава 11. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
- •Часть 3. Элементы линейной алгебры Глава 12. Векторы
- •12.1. Векторное пространство
- •12.2. Линейная зависимость векторов
- •12.3. Разложение вектора по базису
- •Глава 13. Матрицы
- •13.1. Матрицы и операции над ними Понятие матрицы
- •13.2. Обратная матрица
- •Глава 14. Определители
- •14.1. Операции над определителями и основные свойства
- •14.2. Ранг матрицы и системы векторов
- •Глава 15. Системы линейных алгебраических уравнений
- •15.1. Основные понятия
- •15.2. Методы решения систем линейных уравнений
- •15.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
- •15.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
- •15.5. Однородные системы линейных уравнений
- •Глава 16. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •16.1. Использование алгебры матриц
- •16.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •16.3. Линейная модель торговли
- •Часть 4. Элементы теории вероятностей Глава 17. Основные положения теории вероятностей
- •17.1. Основные понятия теории вероятностей
- •17.2. Теорема сложения вероятностей
- •17.3. Теорема умножения вероятностей
- •17.4. Обобщения теорем сложения и умножения
- •17.5. Схема независимых испытаний
- •Глава 18. Случайные величины
- •18.1. Случайные величины и законы их распределения
- •18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •18.3. Система двух случайных величин
- •18.4. Непрерывные случайные величины
- •18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин
- •18.6. Некоторые элементы математической статистики
- •Раздел II. Основы оптимального управления
- •Часть 5. Элементы линейного программирования
- •Глава 19. Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве
- •19.1. Основные понятия и определения
- •19.2. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными
- •Глава 20. Графический метод
- •20.1. Постановка задачи
- •20.2. Алгоритм решения задач
- •20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий
- •20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода
- •Глава 21. Симплексный метод
- •21.1. Общая постановка задачи
- •21.2. Алгоритм симплексного метода
- •21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
- •21.4. Альтернативный оптимум
- •Глава 22. Двойственность в линейном программировании
- •22.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
- •22.2. Основные теоремы двойственности
- •22.3. Решение двойственных задач
- •22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
- •22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
- •Глава 23. Транспортная задача
- •23.1. Общая постановка задачи
- •23.2. Нахождение исходного опорного решения
- •23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю
- •23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность
- •23.5. Переход от одного опорного решения к другому
- •23.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах
- •23.7. Вырожденность в транспортных задачах
- •23.8. Открытая транспортная задача
- •23.9. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений
- •23.10. Экономический анализ транспортных задач
- •23.11. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач
- •23.12. Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
- •Глава 24. Целочисленное программирование
- •24.1. Общая формулировка задачи
- •24.2. Графический метод решения задач
- •24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
- •24.4. Метод Гомори
- •Глава 25. Параметрическое линейное программирование
- •25.1. Постановка задачи
- •25.2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
- •25.3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
- •25.4. Транспортная параметрическая задача
- •25.5. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
- •Глава 26. Задача о назначениях
- •26.1. Постановка задачи
- •26.2. Алгоритм решения задачи
- •26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
- •26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
- •Глава 27. Задачи с несколькими целевыми функциями
- •27.1. Формулировка задачи
- •27.2. Математическая модель нахождения компромиссного решения
- •27.3. Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
- •Часть 6. Элементы оптимального управления Глава 28. Нелинейное программирование
- •28.1. Общая постановка задачи
- •28.2. Графический метод
- •28.3. Дробно-линейное программирование
- •28.4. Метод множителей Лагранжа
- •Глава 29. Динамическое программирование
- •29.1. Постановка задачи
- •29.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования
- •Глава 30. Сетевые модели
- •30.1. Основные понятия сетевой модели
- •30.2. Минимизация сети
- •Часть 7. Принятие решений и элементы планирования Глава 31. Основные понятия теории игр
- •31.1. Графическое решение игр вида (2 X n) и (m X 2)
- •31.2. Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования
- •31.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
- •31.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования
- •31.5. Игры с "природой"
- •31.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
- •31.7. "Дерево" решений
- •Глава 32. Элементы системы массового обслуживания (смо)
- •32.1. Формулировка задачи и характеристики смо
- •32.2. Смо с отказами
- •32.3. Смо с неограниченным ожиданием
- •32.4. Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •32.5. Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
- •Глава 33. Некоторые модели управления запасами
- •33.1. Общая постановка задачи
- •33.2. Основная модель управления запасами
- •33.3. Модель производственных запасов
- •33.4. Модель запасов, включающая штрафы
- •33.5. Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
- •Часть 8. Практикум
- •2. Задачи на случайные величины
- •Ответы к упражнениям
- •Приложение
- •Литература
- •Глава 32. Элементы системы массового обслуживания (смо) 382
- •Глава 33. Некоторые модели управления запасами 391
- •Часть 8. Практикум 399
31.1. Графическое решение игр вида (2 X n) и (m X 2)
Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии. Рассмотрим игру (2 х п), см. табл. 31.2.
Предполагаем, что игра не имеет седловой точки.
Обозначим: х1 — вероятность применения первым игроком 1-й стратегии, x2 — вероятность применения первым игроком 2-й стратегии, причем х2 = 1 — x1; y1 — вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии, у2 — вероятность применения вторым игроком 2-й стратегии и т.д., уn — вероятность применения вторым игроком п-й стратегии.
Ожидаемый выигрыш первого игрока при применении вторым 1-й стратегии составит
Аналогично найдем ожидаемые выигрыши первого игрока при применении вторым игроком 2, 3, ..., n-й стратегий. Полученные данные поместим в табл. 31.3.
Из таблицы видно, что ожидаемый выигрыш первого игрока линейно зависит от x1. На оси X1 построим выражения ожидаемых выигрышей первого игрока.
Первый игрок должен выбирать такие стратегии, чтобы максимизировать свой минимальный ожидаемый выигрыш. Поэтому оптимальная стратегия первого игрока определяется как точка пересечения прямых, максимизирующих его минимальный ожидаемый выигрыш.
Аналогично находим оптимальную стратегию второго игрока. Она определяется как точка пересечения прямых, минимизирующих его максимальные ожидаемые проигрыши.
Пример 1. Рассмотрим представленную выше игру, заданную платежной матрицей
Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Решение. Обозначим: x1 — вероятность применения первым игроком 1-й стратегии, х2, х3, х4 — вероятность использования первым игроком 2, 3, 4-й стратегий соответственно, причем х1 + x2 + x3 + x4 = 1; y1 — вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии, у2, у3, y4, y5 — вероятность использования вторым игроком 2, 3, 4, 5-й стратегий соответственно, причем y1 + у2 + у3 + y4 + y5 = 1.
Платежная матрица была упрощена путем вычеркивания дублирующих, заведомо невыгодных стратегий. Поэтому x2 = x4 = y1 = y2 = y3 = 0 и матрица имеет вид
Найдем решение игры (табл. 31.4) графическим методом (рис. 31.1). На оси Х1 разместим точки х1 = 0 и х1 = 1, через которые проведем прямые, перпендикулярные оси Х1. Подставляя х1 = 0 и x1 = 1 в выражение х1 +3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.
Аналогично рассмотрим выражение –3x1 + 5.
Оптимальная стратегия первого игрока определится из равенства выражений х1 + 3 и -3х1 + 5:
Цена игры v = x1 + 3 = 1/2 + 3 = 7/2.
Оптимальная стратегия первого игрока:
Найдем оптимальную стратегию для второго игрока (табл. 31.5).
Имеем
Оптимальная стратегия второго игрока (рис. 31.2):
Пример 2. Найдем решение игры вида (2 х n), заданной платежной матрицей (табл. 31.6)
Решение. Находим
α = mах (-1,2) = 2, β = min (4, 3, 3, 6) = 3, 2 ≤ v ≤ 3.
Тогда
Оптимальное решение первого игрока:
опт = (1/2, 1/2), при этом цена игры составляет v = 5/2.
Найдем оптимальное решение второго игрока (табл. 31.7).
Из рис. 31.3 следует, что оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений –x1 + 3 и х1 + 2, соответствующих 2-й и 3-й чистым стратегиям второго игрока (см. табл. 31.5), поэтому y1 = y4 = 0, а у3 = 1 – y2.
Имеем
откуда
Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.4):
опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), при этом цена игры v = 5/2.
Ответ.
опт = (1/2, 1/2), опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), v = 5/2.
Пример 3. Найдем решение игры вида (т х 2), заданной платежной матрицей (табл. 31.8)
Решение. Находим α = mах (2, 2, 2, -2) = 2, β = min (3, 6) = 3, 2 ≤ v ≤ 3. Пусть y1 и у2 (причем y2 = l —y1) — смешанные стратегии второго игрока; x1, x2, x3, x4 — смешанные стратегии первого игрока.
Находим
Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.5):
опт = (2/3, 1/3), при этом цена игры v = 8/3.
Прямые, пересекающиеся в минимаксной точке, соответствуют 1-й и 3-й чистым стратегиям первого игрока. Это означает, что х2= х4 = 0. Следовательно, х1 = 1 — x3. Найдем оптимальную стратегию 1-го игрока (табл. 31.9, рис. 31.6).
Имеем
Оптимальное решение первого игрока:
опт = (1/3, 0, 2/3, 0), при этом цена игры v = 8/3.
Ответ.
опт = (1/3, 0, 2/3, 0), опт = (2/3, 1/3), v = 8/3.