3.3. Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции f(x) ± g{x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при В ≠ 0) имеют в точке а пределы, равные соответственно А± В, А В и А/В.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а, и функции f(x) и g(х), имеют в этой точке предел, равный А: Кроме того, пусть выполнены неравенства f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Тогда

Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и в случае, когда а является , + или - .

Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теорему о пределе частного нельзя. Это так называемые неопределенности вида или . Далее будет рассмотрен метод раскрытия этих неопределенностей, связанный с дифференцированием. Однако зачастую решение связано с более простыми методами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степень x и т.д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подстановка предельного значения x = 2 в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида . Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сократим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение х = 2:

Пример 2. Найти предел .

Решение. В задачах такого типа следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень x (в данном случае это просто x) и затем применить теорему 3.2 о переходе к пределу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем

Пример 3. Найти предел .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x³ (это старшая степень x), после чего воспользуемся теоремой 3.2:

Поясним также раскрытие неопределенности вида — . Рассмотрим характерный случай.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Здесь следует умножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное выражение — в данном случае на ( ), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степень x, в данном случае — на . Имеем

3.4. Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложениях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.

ТЕОРЕМА 4. Предел функции в точке х =0 существует и равен единице, т.е.

Предел (3.7) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других пределов. Рассмотрим несколько примеров на применение предела (3.7).

Пример 1. Найти предел функции sin (ax) / bx при х 0.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, поскольку при х 0 пределом ах также является нуль. Получаем

Пример 2. Найти .

Решение. Теорему 3.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при х 0 знаменатель дроби стремится к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:

Пример 3. Найти .

Решение. Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы "подогнать" ее под первый замечательный предел:

ТЕОРЕМА 5 (второй замечательный предел). Предел функции f(x) = при х существует и равен е, т.е.

Число е является одной из фундаментальных величин в математике. Показательная функция вида е^ax называется экспонентой, логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается символом ln. В теории вероятностей и статистике функция является основополагающей.

Второй замечательный предел (3.8) широко применяется для вычисления других пределов. Рассмотрим примеры на его применение.

Пример 4. Найти .

Решение. Применим здесь замену переменной, полаем 1/x = у. Тогда у при x 0, т.е. имеем

Пример 5. Найти .

Решение. Заменим переменную, положив x = 2у. При x (а значит, и у ) последовательно получаем

Пример 6. Найти .

Решение. Сначала преобразуем дробь под знаком предела, а затем уже перейдем к пределу: