26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков

Рассмотрим следующую задачу.

На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обработке деталей. Известна производительность каждого станка при выполнении каждой операции, заданная матрицей

Определить, какую операцию и за каким станком следует закрепить, чтобы суммарная производительность была максимальной при условии, что за каждым станком закреплена только одна операция.

Решение. Так как в задаче требуется определить max, a алгоритм метода дан для задач на min, умножим матрицу С на (—1). Сложим полученную матрицу, имеющую отрицательные коэффициенты, с положительным числом, например с числом 10. Получим

Минимальные элементы в строчках есть 3, 4, 4, 6, 4. Вычтем их из соответствующих элементов матрицы, получим

Так как назначение не получено, вычеркиваем строку 2, столбцы 2, 4, 5:

Минимальный элемент равен 1. Вычитаем его из всех невычеркнутых элементов и складываем со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий. Получаем

Оптимальное решение, соответствующее последней матрице, равно

Суммарная производительность: 6 + 6 + 3 + 6 + 7= 28.

Таким образом, на первом станке надо делать 5-ю операцию, на втором — 1-ю операцию, на третьем — 4-ю операцию, на четвертом — 3-ю операцию, на пятом станке — 2-ю операцию. Суммарная производительность: 28 деталей в единицу времени.

26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов

При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведенную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют ограничения, связанные с нехваткой финансовых ресурсов на его осуществление. В этом случае возникает необходимость разработки такого метода отбора одного проекта (или группы проектов), который, с одной стороны, обеспечит максимально возможную чистую приведенную стоимость, а с другой — позволит "уложиться" в выделенные для инвестиций средства.

Например, у предприятия для выполнения некоторых программ имеется пять инвестиционных проектов, чистая приведенная стоимость которых указана в табл. 26.2. Однако предприятие не может финансировать все проекты: суммы денег, выделенные на текущий год и последующие два, меньше необходимых для инвестирования в полном объеме. При этом оставшиеся денежные средства не могут быть перенесены на следующие годы, также не предусмотрено более одного финансирования одного и того же проекта. Требуется распределить выделенные средства в инвестиционные проекты оптимальным способом.

Решение. Обозначим черех x_j долю вложения в j-й проект, где j = . Тогда чистая приведенная стоимость инвестиций в 1-й проект составит 40x₁; во 2-й проект — 60x₂ и т.д. При этом необходимо учитывать, что инвестиции не должны превышать 54, 62 и 70 ден. ед. в первый, второй и третий годы соответственно. Требуется выбрать один или группу проектов с наибольшей совокупной чистой приведенной стоимостью.

Математическая модель этой экономической задачи имеет вид

при ограничениях:

причем x_j = 0 или 1, j = (проект либо финансируется, либо нет).

Решая задачу на компьютере, получаем х₁ = х₂ = х₄ = x₅ = 1, x₃ = 0. Иными словами, необходимо производить финансирование 1, 2, 4 и 5-го проектов. При этом потребуются денежные средства в объеме 177 ден. ед. в течение трех лет (при выделяемом предприятием объеме 186 ден. ед.), а сумма чистой приведенной пои мести проектов будет максимальной и составит 205 ден. ед.

Математическая модель может быть составлена для произвольного конечного числа программ при предполагаемом финансировании в течение любого количества лет.

УПРАЖНЕНИЯ

26.1. Фирма имеет три механизма A₁, А₂, А₃, каждый из которых может быть использован на каждом из трех видов работ B₁, B₂, B₃ с производительностью, заданной матрицей (в условных единицах)

Распределить механизмы по одному на каждую из работ так, чтобы суммарная производительность всех механизмов была максимальной.

26.2. Пять человек должны выполнить четыре работы, причем каждый из работников с разной производительностью может выполнить любую из этих работ. Предусматривается, что каждый работник в состоянии сделать только одну работу.

Производительности работников при выполнении работ заданы матрицей

Распределить людей на работу так, чтобы выполнить ее с максимальной производительностью.

26.3. Фирма, имеющая четыре склада, получила четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы имеют вполне достаточное количество товара, чтобы выполнить любой один из этих заказов.

Расстояния между каждой базой и каждым потребителем приведены в матрице

Как следует распределить заказы по базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

26.4. Фирма объединяет три предприятия, каждое из которых производит 3 вида изделий.

Себестоимости каждого изделия в усл. ед. при изготовлении на каждом предприятии указаны в матрице

Учитывая необходимость специализации каждого предприятия только по одному изделию, распределить производство изделий по предприятиям так, чтобы изделия имели минимальную себестоимость.

26.5. Компания разрабатывает план выпуска трех новых видов продукции. Она уже владеет пятью предприятиями, и теперь на трех из них должны производиться новые виды продукции — по одному виду на одно предприятие.

Даны издержки производства единицы продукции, усл. ед.:

Издержки сбыта единицы продукции, усл. ед.:

Плановый объем годового производства, который позволил бы удовлетворить спрос, и себестоимость единицы продукции каждого вида приведены в табл. 26.3.

Закрепить выпуск продукции между предприятиями, обеспечивающий получение наибольшей прибыли за год.