25.4. Транспортная параметрическая задача

Задача формулируется следующим образом: для всех значений параметра δ ≤ λ ≤ φ, где δ, φ — произвольные действительные числа, найти такие значения x_ij (i = ; j = ), которые обращают в минимум функцию

при ограничениях:

Пользуясь методом потенциалов, решаем задачу при λ = δ до получения оптимального решения. Признаком оптимальности является условие:

u_i + v_j — [c'_ij + λс"_ij) ≤ 0 для незанятых клеток

и u_i + v_j = с' _ij + λс''_ij для занятых клеток,

где u_i, v_j — потенциалы строк, столбцов распределительной таблицы.

Условие совместимости транспортной задачи запишется в виде

Значения α_ij и β_ij определяются из условия

где u'_i, v'_i, u"_j, v"_j определяются из систем уравнений

Значения λ находятся в пределах λ₁ ≤ λ ≤ λ₂:

Алгоритм решения.

1) Задачу решаем при конкретном значении параметра λ = δ до получения оптимального решения.

2) Определяем α_ij и β_ij.

3) Вычисляем значения параметра λ.

4) Если λ < φ, производим перераспределение поставок и получаем новое оптимальное решение. Если λ = φ, то процесс решения окончен.

25.5. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог

Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а₁ = 100 т, а₂ = 200 т, a₃ = 100 т и четыре потребителя с объемами потребления b₁ = - 80 т, b₂ = 120 т, b₃ = 150 т, b₄ = 50 т. Стоимость транспортных расходов изменяется в определенном диапазоне в зависимости от загрузки дороги и задана матрицей

Определить оптимальное решение перевозок, обеспечивающее минимальные транспортные затраты.

Решение. В матрицу расходов введем параметр λ, где 0 ≤ λ ≤ 3. Получим

Полагая λ = 0, решаем задачу методом потенциалов, определим оптимальное решение перевозок. Распределительная таблица этого решения будет иметь вид табл. 25.5.

В таблице u_i и v_j — потенциалы строк и столбцов. Для занятых клеток они определяются из условия

Полагая u₁ = 0, v₁ + и₁ = 5 + 2λ, получаем v₁= 5 + 2λ,

v₂ + и₁ = 4 — λ, откуда v₂ = 4 — λ;

v₁ + u₂ = 4 или 5 + 2λ + u₂ = 4, откуда и₂ = -1 - 2λ;

v₃ + u₂ = 4 + 2λ или -1 – 2λ + v₃ = 4 + 2λ, v₃ = 5 + 4λ.

Аналогично находим, что u₃ = -1 + λ, v₄ = 2 + 2λ.

Оценки свободных клеток находим по формуле

Имеем

Аналогично находим, что Δ₂₄ = -6 + λ, Δ₃₁ = -1 + 3λ, Δ₃₃ = -2 + 5λ.

Решение, полученное при λ = 0, является оптимальным для всех значений параметра λ, удовлетворяющих условию

Имеем

Так как по условию задачи λ ≥ 0, то оптимальное решение сохраняется при 0 ≤ λ ≤ 1/3. При этом минимальная стоимость транспортных расходов составляет

Таким образом, при λ [0; 1/3] L(X₁)_min = 1430 + 440λ и

Чтобы получить оптимальное решение при λ ≥ 1/3, перераспределим поставки товаров в клетку (3, 1), где λ₂ = 1/3. Вновь полученное распределение представлено в табл. 25.6.

Находим оценки свободных клеток:

Определим пределы изменения λ:

Полученное в таблице оптимальное решение сохраняется при 1/3 ≤ λ ≤ 1/2. При этом L(X₂)_min = 1460 + 350λ. Итак,

Перераспределим поставки грузов в клетку (3, 3), где λ₂ = 1/2. Получим новое распределение (табл. 25.7). Находим оценки свободных клеток:

Определим пределы изменения λ:

Оптимальное решение сохраняется при 1/2 ≤ λ ≤ 1. При этом L(Х₃)_min = 1490 + 290λ. Итак,

Перераспределим поставки товаров в клетку (1, 4), где λ₂ = 1 (табл. 25.8).

Оценки свободных клеток:

Пределы изменения λ:

Полученное в предыдущей таблице оптимальное решение сохраняется при λ ≤ 7/5. При этом L(Х₄)_min = 1540 + 240λ. Итак,

Перераспределим поставки грузов в клетку (2, 4), где λ₂ = 7/5 (табл. 25.9).

Оценки свободных клеток:

Пределы изменения λ:

Оптимальное решение сохраняется при 7/5 ≤ λ ≤ 3. При этом L(X₅)_min = 1890 – 10λ. Итак,

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи параметрического программирования с параметром в целевой функции.

25.1. L( ) = -λx₁ — х₂ → min, 1 ≤ λ ≤ 11 при ограничениях:

25.2. L( ) = 5x₁ + (2 + 3λ)x₂ → max, 0 ≤ λ ≤ 10 при ограничениях:

25.3. L( ) = 2x₁ + (3 + 4λ)x₂ → max, - < λ < при ограничениях:

25.4. L( ) = (1 + λ)x₁ + (2 - λ)x₂ → min, -1 ≤ λ ≤ 4 при ограничениях:

25.5. L( ) = (3 + 3λ)x₁ + 2x₂ + (5 – 6λ)x₃ → max, - < λ < при ограничениях:

Решить следующие транспортные параметрические задачи.

25.6. Произвести транспортировку однородного груза с трех складов с объемами хранения 100, 200, 200 т соответственно пяти оптовым рынкам с потребностями 80, 70, 100, 150, 100 т соответственно. Стоимость транспортных расходов задана матрицей

причем стоимость перевозки груза со второго склада на четвертый рынок и с третьего склада на пятый рынок изменяется в некотором диапазоне 0 ≤ λ ≤ 2.

Определить план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные расходы в заданном диапазоне изменения параметра λ.

25.7. Имеются четыре поставщика однородного груза с объемами поставок 100, 70, 70, 20 т и три потребителя с объемами потребления 120, 80, 60 т. Cтоимость транспортных расходов задана матрицей

причем стоимость перевозки груза от четвертого поставщика до третьего потребителя изменяется в диапазоне 0 ≤ λ ≤ 9.

Определить оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.