Глава 25. Параметрическое линейное программирование

25.1. Постановка задачи

Общая задача линейного программирования имеет вид

при ограничениях:

где c_j, a_ij, b_i — постоянные величины. Однако на практике сталкиваются с тем, что эти величины изменяются в некоторых интервалах. Кроме того, определив оптимальное решение экономической задачи при заданных c_j, a_ij и b_i, целесообразно знать, в каких допустимых пределах можно их менять, чтобы решение оставалось оптимальным. Поэтому возникает необходимость исследовать поведение оптимального решения задачи линейного программирования в зависимости от изменения коэффициентов ее целевой функции, системы ограничений и коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Ограничимся рассмотрением зависимости оптимального решения от изменения коэффициентов целевой функции.

25.2. Линейное программирование с параметром в целевой функции

Пусть коэффициент c_j целевой функции изменяется в пределах (c_j — c'_j,c_j + с''_j), тогда для удобства решения задачи его можно заменить выражением

где c'_j, с''_j — постоянные; λ — параметр, который изменяется в некоторых пределах (в общем случае от - до ).

В общем виде задача линейного программирования с параметром в целевой функции записывается так:

при ограничениях:

Для каждого значения λ в промежутке δ ≤ λ ≤ φ, где δ и φ — произвольные действительные числа, найти вектор (x₁, x₂,..., x_п), удовлетворяющий системе ограничений и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию.

Решая задачу на максимум симплексным методом и исследуя ее решение в зависимости от изменения параметра λ, получим выражения для определения нижнего (λ₁) и верхнего (λ₂) его значений:

где Δ"_j, — оценка симплексной таблицы, содержащая параметр λ; Δ'_j — оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр λ.

Если для целевой функции отыскивается min, то границы изменения λ (λ₁ и λ₂) определяются следующим образом:

Приведем алгоритм решения.

1. Задачу решаем симплекс-методом при конкретном значении параметра λ до получения оптимального решения.

2. Вычисляем значения параметров λ₁, λ₂.

3. Определяем множество значений параметра λ, для которых полученное решение является оптимальным.

4. В случае необходимости в базис вводим вектор, соответствующий столбцу, из которого определялось значение параметра λ₂.

5. Выбираем ключевую строку и ключевой элемент.

6. Определяем новое оптимальное решение.

7. Находим новое множество значений λ, для которых решение останется оптимальным.

8. Процесс вычисления повторяем до тех пор, пока весь отрезок [δ, φ] не будет исследован.

Выясним геометрический смысл задачи.

Пусть L( ) = (c'_j + λc''_jx_j) → max. ABCDEF — область допустимых решений (рис. 25.1). При λ = 0 строим вектор и, перемещая линию уровня MN по направлению вектора , получим в точке D оптимальное решение. Итак, (D) — оптимальное решение, при котором имеем L( (D))_max. При различных значениях λ линия M'N', параллельная линии уровня MN, будет определенным образом поворачиваться вокруг точки D. Пусть при λ = λ₁ прямая M'N' проходит через сторону CD многоугольника допустимых решений, а при λ = λ₂ — через сторону DE. Тогда значения (D)_опт и L( (D))_max не изменятся до тех пор, пока λ₁ ≤ λ ≤ λ₂. Такая картина будет повторяться до получения нового оптимального решения, соответствующего новой целевой функции, для которой существует свой диапазон изменения λ.