24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей

Рассмотрим следующую задачу.

Для улучшения финансового положения фирма приняла решение об увеличении выпуска конкурентоспособной продукции, для чего принято решение об установке в одном из цехов дополнительного оборудования, занимающего 19/3 м² площади. На приобретение дополнительного оборудования фирма выделила 10 усл. ед., при этом она может купить оборудование двух видов. Приобретение 1-го комплекта оборудования 1-го вида стоит 1,0 усл. ед., 2-го вида — 3 усл. ед. Приобретение одного комплекта оборудования 1-го вида позволяет увеличить выпуск продукции в смену на 2 шт., а одного комплекта оборудования 2-го вида — на 4 шт. Зная, что для установки одного комплекта оборудования 1-го вида требуется 2м² площади, а для оборудования 2-го вида — 1м² площади, определить такой набор дополнительного оборудования, который дает возможность максимально увеличить выпуск продукции.

Решение. Составим математическую модель задачи. Предположим, что фирма приобретает х₁ комплектов дополнительного оборудования 1-го вида и x₂ комплектов оборудования 2-го вида. Математическая модель задачи будет иметь вид

при ограничениях:

Получим задачу целочисленного программирования, так как неизвестных только два (x₁ и x₂). Найдем решение задачи графическим способом (рис. 24.1).

ОABC — область допустимых решений (ОДР). Оптимальное решение задача имеет в точке B (9/5, 41/15), при этом максимальное значение целевой функции составляет 218/15 ед. Полученное оптимальное решение нецелочисленное.

Условию целочисленности переменных удовлетворяют координаты 12 точек. Чтобы найти точку, координаты которой определяют решение исходной задачи, заменим многоугольник ОABC многоугольником OKEMRNF, содержащим все допустимые точки с целочисленными координатами.

Строим вектор (2, 4). Линию уровня перемещаем по направлению , получим в точке Е (1, 3) максимальное значение целевой функции:

Таким образом, фирме следует приобрести один комплект оборудования 1-го вида и три комплекта оборудования 2-го вида, что обеспечит ей при имеющихся ограничениях на производственные площади и денежные средства максимальное увеличение выпуска продукции, равное 14 усл. ед. в смену.

24.4. Метод Гомори

Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:

ограничения:

Симплексная таблица представлена в табл. 24.1.

Получим

Найдем дробные части чисел 9/15 и 41/15:

Учитывая дробные части чисел 3/5 и - 1/5:

составляем дополнительное ограничение целочисленности для 1-й строки:

которое вводим в табл. 24.2.

Получим

Сравнивая полученное значение целевой функции целочисленного решения со значением при оптимальном решении, заметим, что условие целочисленности задачи приводит к уменьшению значения целевой функции.

Ответ. _цел. = (1, 3), L( ) = 14.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти целочисленное решение следующих задач.

24.1. L( ) = 16x₁ + 9x₂ → max при ограничениях:

24.2. L( ) = 2x₁ + 3x₂ → min при ограничениях:

24.3. L( ) = 3x₁ + x₂ → max при ограничениях:

24.4. L( ) = 4x₁ + х₂ → max при ограничениях:

24.5. L( ) = x₁ + х₂ → max при ограничениях:

24.6. L( ) = 4x₁ + 5x₂ + x₃ → max при ограничениях:

24.7. L( ) = x₁ — 2x₂ + x₃ + 3x₄ → max при ограничениях:

24.8. Фирма выпускает три вида изделий А, Б, В, причем плановый сменный выпуск составляет 9 шт. изделия А, 7 шт. изделия Б, 6 шт. изделия В.

Сменные ресурсы: 51 ед. производственного оборудования, 48 ед. сырья, 67 ед. электроэнергии, их расход на одно изделие дан в табл. 24.3.

Прибыль от реализации изделий А — 40 усл. ед., Б — 50 усл. ед., В — 10 усл. ед.

Определить, сколько изделий каждого вида надо производить, чтобы получить максимальную прибыль от выпускаемых сверх плана изделий.

24.9. Для приобретения оборудования по сортировке зерна фермер выделяет 34 усл. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 м².

Фермер может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины А стоимостью 3 усл. ед., требующие производственной площади 3 м² (с учетом проходов) и обеспечивающие производительность за смену 2 т зерна, и более мощные машины В стоимостью 4 усл. ед., занимающие площадь 5 м² и обеспечивающие за смену сортировку 3 т зерна.

Определить оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий фермеру при данных ограничениях максимум общей производительности сортировки, если он может приобрести не более 8 машин типа В.

24.10. Три типа самолетов следует распределить между четырьмя авиалиниями. В табл. 24.4 приведены данные месячного объема перевозок каждым самолетом на каждой линии и соответствующих эксплуатационных расходов.

Распределить самолеты по линиям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний не менее 300, 200, 1000 и 500 ед. груза соответственно.