Глава 3. Функции одной переменной

3.1. Понятие функции

Определение функциональной зависимости

Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (x), y = F(x), y = g(x).

Если множество Y значений функции ограничено, то функция называется ограниченной, в противном случае — неограниченной.

Способы задания функций

Задать функцию — значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существуют три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.

1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

2. Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул — на разных промежутках области определения функции используются разные формулы.

Приведем примеры аналитического задания функций.

Пример 1. у = х³. Эта функция задана на бесконечной прямой - < x < . Множество значений этой функции тоже бесконечная числовая прямая - < у < . Функция называется кубической параболой (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Пример 2. у = . Функция задана на отрезке [—1, 1], множество ее значений — отрезок [0, 1]. Это половина окружности, лежащая в верхней полуплоскости (рис. 3.2).

Рис. 3.2

+ 1, если x > 0;

Пример 3. у = sign x = 0, если х = 0;

-1, если х < 0.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функция задана на всем бесконечном промежутке (- , ), а область ее значений состоит из трех чисел: —1, 0, 1 (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек ни оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

3. Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.).

Область определения функции

Остановимся на процедуре нахождения области определения функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

(3.1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в корне четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком логарифма должно быть только

положительным, а также некоторые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1. у = log₂ (x² — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x² — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратного трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (- , 2) и (3, ). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin .

Область определения этой функции находится из совокупности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не должен равняться нулю, т.е.

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым неравенствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных промежутков: (- , -3] и (-1, ). Запретная точка х = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуинтервалов входят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x^-4/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физическим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (симметрия относительно оси Оу), если для любых значений аргумента из области ее определения выполнено равенство

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выполнено условие:

Например, функции у = х² и у = cos x являются четными, а функции у = x³ и у = sin x— нечетными.

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области экономики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложения S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой (рис. 3.5, а):

(3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

(3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая фактически торг между производителем и покупателем (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P₁ называет производитель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена P₁ на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D₁ при этой цене и определяет свою цену Р₂, при которой этот спрос D₁ равен предложению. Цена Р₂ ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешевле). В свою очередь производитель оценивает спрос D₂, соответствующий цене P₂, и определяет свою цену Р₃, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручиванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р₀: P_n = P₀.