21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия

Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства даны в табл. 21.2 (в усл. ед.).

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором — 4 тыс. изделий.

Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Решение. Составим математическую модель задачи. Обозначим: x₁ — время работы предприятия первым способом, x₂ — время работы предприятия вторым способом.

Математическая модель имеет вид

при ограничениях:

Приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Составляем симплексную таблицу 1-го шага (табл. 21.3).

Получим решение:

В индексной строке Δ_j имеются две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве ключевого столбца следует принять столбец базисной переменной х₂, а за ключевую строку взять строку переменной x₃, где min (4/2,3/l, 8/1) = min (2, 3, 8) = 2.

Ключевым элементом является (2). Вводим в столбец базисной переменной х₂, выводим х₃. Составляем симплексную таблицу 2-го шага (табл. 21.4).

Получим

В индексной строке имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является (1/2). Составляем симплексную таблицу 3-го шага (табл. 21.5).

Все оценки свободных переменных Δ_j ≥ 0, следовательно, найденное опорное решение является оптимальным:

Таким образом, по первому способу предприятие должно работать два месяца, по второму — один месяц, при этом максимальный выпуск продукции составит 10 тыс. ед.

21.4. Альтернативный оптимум

При решении задач линейного программирования симплексным методом критерием оптимальности является условие Δ_j ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ_j < 0 для задач на минимум. Если на каком-то шаге окажется, что хотя бы одна оценка свободной переменной Δ_j = 0, а все остальные Δ_j > 0 для задач на максимум (Δ_j < 0 для задач на минимум), то, приняв в качестве ключевого столбца столбец, где Δ_j = 0, и найдя новое оптимальное решение, заметим, что значение целевой функции при этом не изменится. Говорят, что в этом случае задача имеет альтернативный оптимум.

Критерием альтернативного оптимума при решении задач симплексным методом является равенство нулю хотя бы одной оценки свободной переменной (Δ_j = 0).

Если только одна оценка свободной переменной равна нулю, то решение находится по формуле

где 0 ≤ t ≤ 1.

Если две оценки и более, например S, свободных переменных равны нулю, то оптимальное решение определяется по формуле

В задачах, имеющих альтернативный оптимум, возникает возможность включения в ее модель других критериев эффективности.

Пример. Дана задача линейного программирования

при ограничениях:

Решение. Составим симплексную таблицу (табл. 21.6).

В индексной строке имеется одна положительная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является (4). Составляем симплексную таблицу 2-го шага (табл. 21.7).

Получаем

Так как Δ₂ = 0, то задача имеет альтернативный оптимум. Найдем еще одно оптимальное решение, введя вместо базисной переменной х₁ свободную переменную х₂ (табл. 21.8).

Получаем

Найдем координаты оптимального решения задачи:

Давая t значения из [0,1], получим различные _опт, при которых L() = -12.

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи симплексным методом.

21.1. L() = x₁ — 3x₂ — 5x₃ — х₄ → max при ограничениях:

21.2. L() = x₁ + 2x₂ + 3x₃ → min при ограничениях:

21.3. L() = —2x₁ — x₂ + x₃ + x₄ → max при ограничениях:

21.4. L() = 3x₁ + x₂ + 2x₃ → min при ограничениях:

21.5. L() = x₁ + х₂ + x₃ → max при ограничениях:

21.6. L() = x₁ + 2х₂ + 2х₃ → min при ограничениях:

21.7. L() = 3x₁ + x₂ + x₃ + x₄ → max при ограничениях:

21.8. L() = x₁ - 5x₂ – x₃ → max при ограничениях:

21.9. L() = x₁ + х₂ + x₃ + x₄ → min при ограничениях:

21.10. L() = 3x₁ + 5x₂ + 4x₃ → max при ограничениях:

21.11. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в табл. 21.9.

Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

21.12. Торговая фирма для продажи товаров трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в табл. 21.10. Прибыль, получаемая от реализации одной партии товаров 1-го вида, — 5 усл. ед., 2-го вида — 8 усл. ед., 3-го вида — 6 усл. ед.

Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме максимальную прибыль.

21.13. Фирма выпускает четыре пользующихся спросом изделия, причем месячная программа выпуска составляет 10 изделий типа 1 и 3, 200 изделий типа 2 и 120 изделий типа 4. Нормы затрат сырья на единицу различных типов изделий приведены в табл. 21.11.

Прибыль от реализации изделий типа 1 равна 6 усл. ед., изделий типа 2 — 2 усл. ед., изделий типа 3 — 2,5 усл. ед. и изделий типа 4 — 4 усл. ед.

Определить, является ли месячная программа выпуска изделий оптимальной, и если нет, то определить оптимальную месячную программу и дополнительный доход, который фирма может при этом получить.

21.14. Металлургический завод из металлов A₁, A₂, А₃ может выпускать сплавы B₁, В₂, В₃. В течение планируемого периода завод должен освоить не менее 640 т металла A₁ и 800 т металла А₂, при этом металла А₃ может быть израсходовано не более 860 т.

Определить минимальные затраты, если данные о нормах расхода и себестоимость даны в табл. 21.12.

21.15. Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используются пряжа и красители. В табл. 21.13 указаны мощности станков в тысячах станко-часов, ресурсы пряжи и красителей в 1000 кг, производительности станков в метрах за час, нормы расхода пряжи и краски в килограммах на 1000 м и цена 1 м ткани.

По этим исходным данным решить следующие задачи:

1. определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию предприятия;

2. приняв условие, что количество тканей трех артикулов находится в отношении 2:1:3, определить, какое максимальное количество комплектов ткани может выпустить предприятие;

3. определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход предприятия, если цена 1 м ткани составляет 8, 5 и 15 усл. ед. соответственно;

4. решить задачу (1) при условии, что станки 1-го типа ткань первого артикула не производят.